2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（每小题５分，共60分）
1．设集合{}
{}
2
60,13M x x x N x x =+-<=≤≤，则M N ⋂=（ ）
A ．[)1,2
B ．[]1,2
C ．(]2,3
D ．[]2,3 2．复数22i
z i
-=
+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若点(),9a 在函数3x y =的图象上，则tan 6
a π
的值为（ ）
A ．0
B
C ．1
D 4．不等式5310x x -++≥的解集是（ ）
A ．[]5,7-
B ．[]4,6-
C ．(][),57,-∞-⋃+∞
D ．(][),46,-∞-⋃+∞ 5．对于函数(),y f x x R =∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．若函数()sin f x x ω=（0ω>）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω=（ ）
A ．8
B ．2
C ．32
D ．2
3
7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+ 中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A ．63.6万元
B ．65.6万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
8．已知双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的两条渐近线均和圆C ：22650x y x +-+=
相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A ．
22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22
163
x y -= 9．函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，()3
f x x x =-，
则函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
11．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；② 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③ 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
12．设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=
（
R λ∈），
1412A A A A μ= （R μ∈），且11
2λμ
+=，则称34,A A 调和分割12,A A ．已知平面上
的点,C D 调和分割点,A B ，则下列说法正确的是（ ）
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．,C
D 可能同时在线段AB 上 D ．,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上
第Ⅱ卷（共90分） 整理人：河北省邢台一中 李振生
二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. 执行右图所示的程序框图，输 入2,3,5l m n ===，则输出 的y 的值是 ．
14.
若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 ．
15. 设函数()2
x
f x x =
+（0x >），观察：
输出
结束
否是
否
是
开始
输入非负整数
()()12x f x f x x ==
+，()()()2134
x f x f f x x ==+， ()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x
f x f f x x ==+，……
根据以上事实，由归纳推理可得： 当*
n N ∈且2n ≥时，()()()1
n n f x f
f x -== ．
16. 已知函数()log a f x x x b =+-（0a >，且1a ≠）．当234a b <<<<时，函数
()f x 的零点()0,1x n n ∈+，*n N ∈，则n = ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知
cos 2cos 2cos A C c a B b --=．
（Ⅰ）求sin sin C
A
的值；
（Ⅱ）若1
cos ,24
B b ==，求AB
C ∆的面积S ．
18. （本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6、0.5、
0.5．假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； （Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数， 求ξ的分布列和数学期望E ξ． 19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，
090ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，2AB EF =．
（Ⅰ）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ； （Ⅱ）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小．
A
B
C
D
E
F
G M
20. （本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln n
n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器
（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
803
π
立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．
22. （本小题满分12分）已知动直线l 与椭圆C ：22
132
x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y
两不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆=
O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由．。