第四讲遇到中点常加的辅助线
等腰底三合一
解题方法技巧：等腰三角形中有底边中点或要证是底边中点时，常连底边中线，利用等要三角形“三线合一”的性质证题
口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关
性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法
例题1、已知，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点，求证：BF⊥FD
例题2、如图、AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD 的中点
求证：（1）AF⊥CD
（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）
跟踪训练1、如下图、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，ME⊥AC于点N,求MN的长为多少？（自己画图）
2、如图、等腰△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A 的直线MN∥BC,在直线MN上点A的两侧分别取E、F 且AE=AF,求证：
DE=DF
3、如下图△ABC 中,AB=AC=10cm.BC=8cm,点D 为AB 的中点
（1）如果点P
在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等时，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以上的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
同类型题：
如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的
中点。

如果点P在线段BC上以2cm／s的速度由点B向C点运
动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm／s的速度运
动。

(1)、若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，
△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。

（2）、若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周
长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
答案
解：（1），△BPD与△CQP 是全等。

理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
则CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm
∵D是AB的中点
∴BD=1/2AB=1/2×12=6cm
∴BP=CQ， BD=CP
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C
在△BPD和△CQP中
BP=CQ ∠B=∠C BD=CP
∴△BPD≌△CQP(SAS)
(2)设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP=2t，AQ=4t ∴t的取值范围为0﹤t≤3
则CP=10-2t，CQ=12-4t
∵△CPQ的周长为18cm，
∴PQ=18-(10-2t)-( 12-4t)=6t-4
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
① 当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t
解得：t=1
② 当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t
解得：t=
③ 当QP=QC时，则有6t-4=12-4t
解得：t=
三种情况均符合t的取值范围。

综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角
形。