如何把四面体补成平行六面体
任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上
的一条对角线，并且下列重要性质：
1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上
的一条对角线，且V 四面体=3
1V 平行六面体. 2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相
对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形，则四面体可以补成一个长方体.
3.棱长为a 的正四面体可以补成一个棱长为a 2
2的正方体. 请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用.
例1如图1，四面体S —ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为25、13、22，求四面体的体积. 图1
分析：由于底面△ABC 的三条边长都不相等，三条侧棱长SA 、SB 、SC 也都不相等，
所以如果按常规方法：V =hS 31去求体积，△ABC 面积的计算或者顶点S 到底面ABC 的
距离h 都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB =AC =25，
SC =AB =13，SA =BC =22，则四个面是全等的三角形，在△SBC 中，SB 最大，所以
∠SCB 最大，而
cos SCB =2641
2213220
813=⋅⋅-+>0，
所以△SCB 为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别
为x 、y 、z ，
则有 x 2+y 2=13，y 2+z 2=20， z 2+x 2=8，
解得 x =.2
30,225,22==z y 所以 V 长方体=
,4305 V 四面体=31V 长方体=.12
305 例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长
_______.
分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为
3V 正四面体=3·72=216，
则正方体的棱长为
3216=6， 而 EF =3
1BD ，BD 为正方体的对角线，所以 BD =62，EF =22. 图2
例3.如图3，从空间一点出发的四条射线两两夹角为α，则cos α=________.
分析：如图4，从一点出发的四条射线，两两夹角都为α，这样的点可设想为正四面体的中心O ，若把它补成正方体，即为正方体的中心，所以设∠AOB =α，正方体的棱长为1，则
图3 图4
OA =OB =2
3，AB =.2 所以 cos α=312
323224343-=⋅⋅-+. 例4.如图5，四面体ABCD 的各棱长为1，P 为棱AB 的中点，Q 为CD 的中点，求线段PQ 的长
.
图5 图6
分析：如图6，将正四面体补成正方体，则PQ 实质上是正方体两个对面之间的距离，即为正方体的棱长，所以
PQ =.2
2 例5．如图7，设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是（ ）
图7 A ． arcsin 3
6 B ．
33arccos 2+π C ．2
π－arctan 2 D.22arccot
-π 分析 如果把正四面体补成正方体，则AB 、BC 、CD 都是面对角线，中点E 、F 、G 即是各面的中心，则平面EFG 是与正方体的一个表面平行的一个平面，而面BCD 是正方体中三条面对角线组成的截面，因此，所要求的二面角实质上是正方体中，截面与底面所成角中的一只钝角. 即如图8中的∠COF ，
而 tan COE =,22/21==OE CE
所以 cot COE =,2
2 故 ∠COF =π－arccot
,22选D. 图8
例6．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，求这个球的体积.
分析：由棱长为a 的正四面体，一个球与正四面体，可以补成棱长为a 2
2的正方体，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的2
1，即 R =a 42，所以 V 球=.24
2)42(3433a a ππ=。