高中数学必修五第一章教案1．1.1 正弦定理1．1.2 余弦定理1．角度问题1．三角形中的几何计算1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升1．2应用举例距离和高度问题1．1.1 正弦定理高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【问题导思】 正弦定理1．如图在Rt △ABC 中，C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，∠A 、∠B 与∠C 的正弦值有怎样的关系？【提示】 ∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴a sin A ＝bsin B＝c . 又∵sin C ＝sin 90°＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C .2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立． 1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： asin A ＝b sin B ＝csin C.2．三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形例1在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小．【思路探究】 (1)由sin B ＝12能解出∠B 的大小吗？∠B 唯一吗？(2)能用正弦定理求出边b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？ 【自主解答】 ∵sin B ＝12，∴B ＝30°或150°，当B ＝30°时，由A ＝60°得，C ＝90°； 当B ＝150°时，不合题意，舍去． 由正弦定理可得：b sin B ＝c sin C ＝asin A .故b ＝sin B sin A ·a ＝sin 30°sin 60°×3＝3，c ＝sin C sin A ·a ＝sin 90°sin 60°×3＝2 3.1．解答本题时首先应把已知条件sin B ＝12进行转化，把问题化归为已知两角及一边解三角形问题，要注意当B ＝150°时不合题意．2．解决已知两角及一边类型的解题方法是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A.322 B.322C.32D.62【解析】 因为A ＝75°，B ＝60°，所以C ＝180°－75°－60°＝45°.因为c＝3，根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c sin B sin C＝3×3222＝322.【答案】 A已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2.求A ，B ，b .【思路探究】 (1)条件中已知边c 和其对角C ，又知边a ，能否用正弦定理求得A值？(2)求得A 值后，怎样求其他元素？ 【自主解答】 由a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π.又∵c >a ，∴C >A ，∴只能取A ＝π4，∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.1．解题时由已知条件用正弦定理直接得到的是sin A 的值，由sin A 求A 可能有两种情况，要根据题意进行取舍．2．在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况如下：角A 为锐角角A 为钝角或直角图形关系式①a ＝b sin A②a ≥b b sin A <a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数一解两解无解一解无解(2013·青岛高二检测)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形的解的情况是( )∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin (B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．正弦定理的变形公式：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.实际题目中，我们是通过以上两个变形公式完成边化角和角化边的．(2013·淄博高二期中)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】 由正弦定理，已知条件可以变形为sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．易错专练 解三角形时忽视大边对大角致误在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B . 【错解】 ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝2sin 45°2＝12， ∴B ＝30°或150°.1．1.2余弦定理高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【自主解答】 (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角． 由正弦定理，得sin A ＝a csin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ， 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二 由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6－2432＝6－22.1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形． 【解】 法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角． 【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？(2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求解？【自主解答】 由于a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴C ＝120°， 即最大内角为120°.1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．(2013·洛阳高二检测)边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 【解析】 设边长为5、7、8的对角分别为A 、B 、C . 则A <B <C .由题意cos B ＝52＋82－722×5×8＝12.∴cos(A ＋C )＝－cos B ＝－12，∴A ＋C ＝120°.【答案】 B 判断三角形的形状在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】 可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦定理求A ，再应用三角公式求出另外两角，进而判断△ABC 的形状．【自主解答】 因为(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝12，即A ＝60°.又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，且sin A ＝2sin B cosC ，所以sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，所以B ＝C ， 又因为A ＝60°，所以B ＋C ＝180°－A ＝120°，即B ＝C ＝60°， 故△ABC 为等边三角形．1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2>c 2且b 2＋c 2>a 2且c 2＋a 2>b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2<c 2或b 2＋c 2<a 2或c 2＋a 2<b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ．试判断△ABC 的形状． 【解】 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab，等式两边同乘以2abc ，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2，故△ABC 是以A (或B )为直角的直角三角形.正余弦定理的综合应用(12分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B .【规范解答】 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以b a＝ 2.6分 (2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.8分由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.12分在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】 由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．(2013·青岛高二期中)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513 C ．0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0. 【答案】 C 3．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________.1角度问题高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日方位角与方向角【问题导思】课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？【提示】老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．图1－2－171．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α°(如图1－2－17)．方位角的取值范围：0°～360°. 2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.俯角、仰角与坡角(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.图1－2－18(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比．确定航向的角度问题一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)图1－2－19【思路探究】 (1)如图AB ，BC 已知，只要求出它们的夹角ABC 就可以用余弦定理求出AC ，∠ABC 怎样求？(2)∠CAB 怎样求？若求出∠CAB ，航向该怎样表示？【自主解答】 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137°≈113.15.由正弦定理，得BCsin ∠CAB ＝ACsin ∠ABC， sin ∠CAB ＝BC sin ∠ABCAC＝54.0×sin 137°113.15≈0.3255，所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.1．本题中由于A 、C 均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB 的大小，可用方向角表示出来．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，π2]上时，用正、余弦定理皆可．如图1－2－20所示，从A 到B ，方位角是50°，距离是470 m ，从B 到C ，方位角是80°，距离是860 m ，从C 到D ，方位角是150°，距离是640 m ，试计算从A 到D 的方位角和距离．图1－2－20【解】 连接AC ，在△ABC 中，∠ABC ＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 150°≈1 289 m，由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ≈860sin 150°1 289≈0.333 6， ∴∠BAC ≈19.5°，∴∠ACB ≈10.5°.在△ACD 中，∠ACD ≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.由余弦定理，得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ≈1 531 m. ∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD≈0.911 1， ∴∠CAD ≈24.3°.∴从A 到D 的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°.即从A 到D 的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.不确定航向的角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？【自主解答】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)， 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10.在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin 120°， ∴sin ∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12. ∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B ，画出可以求解的三角形．2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．在甲船A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？【解】 设甲船沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C处用时为t .由题意BC ＝vt ，AC ＝3vt ，∠ABC ＝120°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 120°，∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt . ∴2v 2t 2－avt －a 2＝0,解得vt ＝－a2(舍去)或vt ＝a . ∴BC ＝a ， 在△ABC 中AB ＝BC ＝a ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. 60°－30°＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a 海里． 易错辨析题：应用正余弦定理时出现增根致误图1－2－21某观测站C 在A 城的南偏西20°方向上，由A 城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C 处测得公路上距C 为31 km 的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20 km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21 km ，则这人还要走多远才可到达A 城？【错解】 如题图所示，∠CAD ＝60°，在△BCD 中，由余弦定理，得：cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝12331. 在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin ∠BAC＝24(km)． 在△ACD 中，由余弦定理，得：CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即212＝242＋AD 2－24AD . 所以AD ＝15或AD ＝9，即这人还要走15 km 或9 km 才能到达A 城．【错因分析】 余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．【防范措施】 求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．【正解】 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理，得：cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17. 所以sin β＝437. 所以sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin 60°＝ADsin α，所以AD ＝21×sin αsin 60°＝15(km)． 即这人还要走15 km 才可以到达A 城．巩固练习：图1－2－221．对右图正确的描述应为( ) A ．东偏北α° B ．东北方向α° C ．北偏东α°【答案】 C2．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【解析】 如图，由题意，知AC ＝BC ，∠ACB ＝80°，∴∠CBA ＝50°，α＋∠CBA ＝60°.∴α＝10°，即A 在B 的北偏西10°.【答案】 B3．△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝7，则cos C ＝( )A ．－15 B.15C.79D.45【解析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－840＝－15. 【答案】 A4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．【解】 如图，B ，C 为两灯塔，行驶半小时后船从A 到达D ，由∠ADC ＝75°，∠ADB ＝60°，∴∠BCD ＝∠BDC ＝15°.∴BD ＝BC ＝10，∴AD ＝10×cos 60°＝5.设船速为x ，则12x ＝5，即x ＝10(海里/小时)．课堂小结：1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.布置作业：1．三角形中的几何计算高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日教学过程：步骤、内容、教学活动【问题导思】三角形的面积公式如图，在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a ，h b 和h c .1．你能用△ABC 的边角分别表示h a ，h b ，h c 吗？【提示】 h a ＝b sin C ＝c sin B . h b ＝c sin A ＝a sin C . h c ＝b sin A ＝a sin B .2．你能用边a 与高h a 表示△ABC 的面积吗？【提示】 S △ABC ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12ac sin B . 已知△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，其面积为S ，则：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B例题讲解： 三角形中的面积计算△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)AB 、AC 是不是C 的两夹边？(2)要使用三角形的面积公式应求哪个角？怎样求？【自主解答】 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ， ∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12. 因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________． 【解析】 由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32， ∴AC ＝1.由余弦定理得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝22＋12－2×2×1×12＝3. ∴BC ＝ 3.【答案】 3三角形中的证明问题在△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.【思路探究】 去掉括号再考虑用正弦定理求解．【自主解答】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 则a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B ，所以左边＝a sin B －a sin C ＋b sin C －b sin A ＋c sin A －c sin B ＝(a sin B －b sin A )＋(b sin C －c sin B )＋(c sin A －a sin C ) ＝0＋0＋0＝0＝右边，所以原式成立．1．证明本题的关键在于充分借助正、余弦定理实现边角互化．2．恒等式证明通常采用以下三种方法：(1)从等式的左边证到右边；(2)从等式的右边证到左边；(3)对等式的两边同时变形，化为同一个式子．方法的选择原则是从复杂的一边证明到简单的一边．3．证明过程中，要注意三角函数和、差、倍角公式的灵活运用．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.求证sin C sin A＝2. 【证明】 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B .化简可得s in(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. 三角形中的综合问题(2013·黄冈高二检测)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列且cos B ＝35.(1)求cos A sin A ＋cos C sin C的值；(2)设BA →·BC →＝3，求a ＋c 的值． 【思路探究】 (1)结合已知条件，用正弦定理与三角恒等公式求值．(2)用余弦定理解决．【自主解答】 (1)由已知b 2＝ac ，及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，由cos B ＝35，则sin B ＝45. cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ＝54. (2)由BA →·BC →＝3，得ac cos B ＝3，ac ＝3cos B＝5， 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ×35，得ac ＝a 2＋c 2－65ac ， a 2＋c 2＋2ac ＝215ac ＝21，∴(a ＋c )2＝21.∴a ＋c ＝21.1．本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用．解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式．2．以下结论也常常用到： (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C (C ≠π2)，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cosC ，(1)求A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 【解】 (1)由已知条件得2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得 7＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60° ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 将b ＋c ＝4代入，得bc ＝3故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.解三角形中的函数思想(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设S为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小； (2)求sin A ＋sin B 的最大值．【解析】 由12bc sin A ＝2203，∴c ＝55.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401.∴a ＝49. 【答案】 D3．边长为a 的等边三角形的高为________． 【解析】 高h ＝a sin 60°＝32a . 【答案】32a 4．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，求AC 边上的高． 【解】 设AC 边上的高为h ，由余弦定理知 cos B ＝32＋132－162×3×13＝1313，∴sin B ＝23913，∴S ＝12×3×13×23913＝332×2＝3 3.又S ＝12×4×h ，∴2h ＝33，∴h ＝332，∴AC 边上的高为332.课堂小结：1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日.利用正、余弦定理解三角形在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形： (1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.【思路点拨】 已知两边和其中一边的对角解三角形，可以用正弦定理，也可以用余弦定理解决，解题时一定要准确判断解的情况．【规范解答】 (1)∵a >b ，∴B 为锐角，由正弦定理，sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一 由正弦定理sin B ＝ba·sin A ＝1， ∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二 设第三边长为c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0， ∴c ＝433，由正弦定理sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a >c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°. (4)由正弦定理sin B ＝b a·sin A ＝3>1，无解．已知a ＝5，b ＝53，A ＝30°，解三角形． 【解】 由题可知，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝53×12＝532，∴a >b sin A ，∴本题有两解．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝53×125＝32，∴B ＝60°或B ＝120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝512＝10. 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝5.综上，B ＝60°，C ＝90°，c ＝10或B ＝120°，C ＝30°，c ＝5. 正、余弦定理在三角形中的综合应用正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．求角A 的大小．【思路点拨】 根据正弦定理，把已知中的角转化成边再求解． 【规范解答】 ∵2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )·si n C ， 由正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.∵0<A <π， ∴A ＝2π3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B . 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1，因此b ＝2.正弦定理和余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【思路点拨】 由题意图出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．【规范解答】 如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°.由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．如图1－1是曲柄连杆机结构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处．设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(连杆的端点A 移动的距离A 0A )．(精确到1 mm)图1－1【解】 在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＝BC sin C AB ＝85×sin 80°340≈0.246 2.∵BC <AB ，∴A 为锐角，得A ≈14°15′.∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(14°15′＋80°)＝85°45′. 由正弦定理，得AC ＝AB sin B sin C ≈340×sin 85°45′0.984 8≈344.3(mm)． ∴AA 0＝A 0C －AC ＝(AB ＋BC )－AC ≈(340＋85)－344.3＝80.7≈81(mm)， 即活塞移动的距离约为81 mm.转化与化归思想转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．已知△ABC 中，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 转化第一个已知条件，应用余弦定理求C .转化第二个已知条件，应用正弦定理判断△ABC 的形状．【规范解答】 由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，得a 3＋b 3－c 3＝c 2(a ＋b )－c 3， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝12，∴C ＝60°. 由a cos B ＝b cos A ，得2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝0，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 是锐角，则△ABC的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解】 由3b ＝23a sin B ，得bsin B ＝23a 3， 根据正弦定理，得b sin B ＝asin A，1．2应用举例距离和高度问题高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日1.定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线． 2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高测量中的有关概念1.坡角坡面与水平面的夹角，如图1－2－1所示，α为坡角．图1－2－12．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l＝tan α，如图1－2－1所示．3．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1－2－2所示)．图1－2－24．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．【例题讲解】 求两点间可视但不可到达的距离问题图1－2－3如图1－2－3，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离．【思路探究】(1)AC 的对角∠ABC 是多少度？(2)能用正弦定理求出AB 的长度吗？【自主解答】在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)． 即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.如图所示，设A (可到达)，B (不可到达)是地面上两点，要测量A ，B 两点之间的距离，步骤是：(1)取基线AC (尽量长)，且使AB ，AC 不共线；(2)测量AC ，∠BAC ，∠BCA ；(3)用正弦定理解△ABC ，得AB ＝AC sin C sin B ＝AC sin C sin 180°－A －C.图1－2－4如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D ，E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，又测得A ，B 两点到隧道口的距离AD ＝80 m ，BE ＝40 m(A ，D ，E ，B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长．(精确到1 m)。