高等数学下册总复习资料（工科）广东工业大学华立学院增城，2008-2-20目录目录〈一〉内容提要 (1)第八章多元函数微分法及其应用 (1)第九章重积分 (5)第十章曲线积分与曲面积分 (9)第十一章无穷级数 (12)第十二章微分方程................................................................................错误!未定义书签。

〈二〉强化训练 . (18)（Ⅰ）04、05、06期末试卷 (18)2004—2005学年第二学期期末考试试卷 (18)2005—2006学年第二学期期末考试试卷 (22)2006—2007学年期末考试试卷 (24)（Ⅱ）自测训练 (27)试卷一 (27)附参考答案： (30)试卷二 (30)附参考答案： (33)试卷三 (35)附参考答案： (38)2005－2006学年第二学期期末考试试卷（2005级快班试卷） (39)2006－2007学年第二学期期末考试（2006级快班试卷） (42)试卷四 (45)参考答案及提示 (50)试卷五 (54)参考答案及提示： (58)高等数学下册总复习资料1高等数学下册总复习〈一〉内容提要第八章 多元函数微分法及其应用一、基本概念 1．多元函数（1）知道多元函数的定义n 元函数：),,,(21n x x x f y（2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0； 2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0；4°：u z arcsin 或u arccos 中||u ≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限A y x f y y x x ),(lim 0这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的．（1） 理解二重极限的定义（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim 00P f P f P P ．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1．偏导数（1）理解偏导数的定义（二元函数）x y x f y x x f x zx ),(),(lim 00000 yy x f y y x f y zy ),(),(lim 00000 （2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系． （3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义．广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室2（2）注意记号与求导顺序问题．（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：xy zy x z 22． 3．全微分（1）知道全微分的定义若),(),(0000y x f y y x x f z 可表示成)( o y B x A ，则),(y x f z 在点),(00y x 处可微；称y B x A 为此函数在点),(00y x 处的全微分，记为y B x A dz ．（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（xzA，y z B ；dy y z dx x z dz） 偏导数存在，不一定可微（dz z 是否为)( o ）． 偏导数连续，全微分必存在．方向导数、梯度，只对快班要求．三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则 （1）x v v z x u u z x z yv v z y u u z y z （2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法．2．隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形若0),( y x F 确定了)(x y y ，则yx F F dx dy； 若0),,( z y x F 确定了),(y x z z ，则z x F F x z ，zy F F y z． （2）方程组的情形高等数学下册总复习资料3若0),,(0),,(z y x G z y x F 能确定 )()(x z z x y y ，则由0dx dz G dx dy G G dxdz F dx dy F F z y x z y x可解出dx dy 与dxdz；若0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定了),(y x u u ，),(y x v v ，象上边一样，可以求出x u ，x v及y u ，yv． 四、多元函数微分法的应用 1．几何应用（1）空间曲线的切线与法平面方程1°：曲线 ：)(t x ，)(t y ，)(t z ，0t t 时， 上相应点),,(000z y x 处的切线方程：)()()(000000t z z t y y t x x法平面方程：0))(())(())((000000 z z t y y t x x t2°：曲线 ：)()(x z x y ，则点),,(000z y x 处的切线方程：000001()()x x y y z z x x法平面方程：00000()()()()()0x x x y y x z z3°：曲线 ：0),,(0),,(z y x G z y x F ，则点),,(000z y x P 处的切线方程为Pyx y x Pxz x z Pzy z y G G F F z z G G F F y y G G F F x x 000法平面方程：0)()()(000z z G G F F y y G G F F x x G G F F Pyx yx Px zxzP z y z y（2）空间曲面的切平面与法线方程1°：曲面 ：0),,( z y x F ，点),,(000z y x 处的切平面方程为：广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室40)(),,()(),,()(),,(000000000000 z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程：zy x F z z F y y F x x 000 2°：曲面：),(y x f z ，在点),,(000z y x 处的切平面方程为：)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x法线方程为：100 z z f y y f x x y x 2．极值应用（1）求一个多元函数的极值（如),(y x f z ）：先用必要条件 00yz xz，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的xx z ，yy z 与xyz ；02 B AC ，0 A 时有极大值，0 A 时有极小值； 02 B AC 时无极值．（2）求最值1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题． （3）条件极值求一个多元函数在一个或m 个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．如：),,(z y x f u 在条件0),,(1 z y x 与0),,(2 z y x 下的极值时，取),,(),,(),,(),;,,(221121z y x z y x z y x f z y x F解方程组000021 z y x F F F ，求出x ，y ，z则),,(z y x 就是可能的极值点；再依具体问题就可判定),,(z y x 为极大（或极小）值点．高等数学下册总复习资料5第九章 重积分一、 二重积分 1． 定义：ni iiin Df d y x f 1)(0),(lim ),(2． 几何意义：当),(y x f ≥0时，Dd y x f ),(表示以曲面),(y x f z 为顶，以D 为底的曲顶柱体体积．物理意义：以),(y x f 为密度的平面薄片D 的质量． 3． 性质1°： DDd y x f k d y x kf ),(),(2°：DDDd y x g d y x f d y x g y x f ),(),()],(),([3°：若21D D D ，则 21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f4°：1),( y x f 时，D Dd y x f),(5°：若在D 上),(y x ≥),(y x ，则Dd y x ),(≥ Dd y x),( Dd y x f ),(≥(,)Df x y d6°：若),(y x f 在闭区域D 上连续，且m ≤),(y x f ≤M ，则D m ≤ Dd y x f ),(≤D M7°：（中值定理）若),(y x f 在闭区域D 上连续，则必有点D ),( ，使DDf d y x f),(),(4． 二重积分的计算法 （1）在直角坐标系中1°：若积分区域D 为 X 型区域D ：)()(21x y x b x a 则化为先y 后x 的二次积分：广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室6D 极点在外D 极点在的边界上rOD 极点在内bax x Ddyy x f dx dxdy y x f )()(21),(),(2°：若积分区域D 为 Y 型区域D ：)()(21y x y d y c 则化为先x 后y 的二次积分：d cy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(（2）在极坐标系中)sin ,cos (),( r r f y x f , rdrd d1°：极点在D 外：D ：)()(21r 则有)()(21)sin ,cos (),(rdr r r f d d y x f D2°：极点在D 的边界上：D ：)(0r 则有)(0)sin ,cos (),(rdr r r f d d y x f D3°：极点在D 内：D ：)(020r 则有20)(0)sin ,cos (),(rdr r r f d d y x f D在计算二重积分时要注意：1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有22y x 或两个积分变量之高等数学下册总复习资料7y),y ),yy比xy 、y x时，一般可选择极坐标系． 2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）． 3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D 关于x 轴（或y 轴）对称时，应配合被积函数对于y （或x ）的奇偶性． 4°：若)()(),(21y f x f y x f ，积分区域D : dy c bx a ,则二重积分可化为两个定积分的乘积． 二、 三重积分 1． 定义：ni iiiin vf dv z y x f 1)(0),,(lim ),,(2． 物理意义：以),,(z y x f 为密度的空间体 的质量． 3． 性质（与二重积分类同）． 4． 三重积分的计算法 （1）在直角坐标系中 1°：若 为：),(),(),(21y x z z y x z D y x xy此处xy D 为 在xOy 面上的投影， ),(1y x z z 与),(2y x z z 分别为 的下界面和上界面方程，则xyDy x z y x z dxdy dz z y x f dxdydz z y x f ),(),(21),,(),,(2°：若 为：0),,(0201z D z y x C z C此处0z D 为用平面0z z 截 则21),,(),,(C C D z z y x f dz dxdydz z y x f（2）在柱面坐标系下广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室8若 为：),(),()()(2121 r z z r z r ，则),(),()()(2121),sin ,cos (),,(r z r z dz z r r f rdr d dxdydz z y x f（3）在球面坐标系中若 为：),(),(212121 z ，则212121),(),(2sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(d f d d dxdydz z y x f 注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；4°：若 是长方体：f z e d y c b x a ，而)()()(),,(321z f y f x f z y x f ，则三重积分化为三个定积分的乘积． 三、 重积分的应用 1． 几何应用（1） 求面积： DD d（2） 求体积：Dd y x f ),(，dv（3） 求曲面面积：若 ：),(y x f z ， 在xOy 面上的投影为xy D ，则 的面积为：xyD dxdy y z x z A 221 2． 物理应用（1） 求质量：Dd y x m ),(；dv z y x m ),,(（2） 求重心：D d y x x m x ),(1； Dd y x y m y ),(1在均匀情况下，重心公式可变形为： DDxd x 1；DDyd y 1同理，可得到空间体 的重心坐标．高等数学下册总复习资料9（3） 求转动惯量：Dx d y x y J ),(2； Dy d y x x J ),(2；y x o J J J同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．第十章 曲线积分与曲面积分一、曲线积分 1．定义：（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：ni iiiLs f ds y x f 1),(lim ),(（ni iiiiLs f ds z y x f 1),,(lim ),,(）物理意义：曲线的质量．（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：ni i i i iiiLy Q x P dy y x Q dx y x P 1),(),(lim ),(),(ni i i i i i i i i i i i i Lz R y Q x P dzz y x R dy z y x Q dx z y x P 1),,(),,(),,(lim ),,(),,(),,(物理意义：变力沿曲线所作的功． 2．性质： （1）21L L L（21L L L ）（2）第一类：L L ds y x f ds y x f ),(),(第二类：L L（3）两类曲线积分的联系LLds Q P Qdy Pdx )cos cos (其中 cos ， cos 是曲线上点),(y x 处切线的方向余弦． （LLds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos ( ）3．计算法（化线积分为定积分）L ：)()(t y t x ， ≤t ≤ ，则10dt t t t t f ds y x f L)()()(),(),(22dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)()(),()()(),(),(),(注意：L 为)(x f y 时，取L 为 )(x f y xx ，a ≤x ≤b4．格林公式及其应用 （1）格林公式：D Ldxdy y P x Q Qdy Pdx注意：1°：P ，Q 在D 上具有一阶连续偏导数；2°：L 是单连域D 的正向边界曲线；3°：若D 为多连域，先引辅助线，后再用格林公式．（2）平面上曲线积分与路径无关的条件设P ，Q 在单连域G 内有一阶连续偏导数，A ，B 为G 内任意两点，则以下四个命题等价：1°：ABL Qdy Pdx 与路径L 无关；2°：对于G 内任意闭曲线C 有0CQdy Pdx ； 3°：在G 内，Qdy Pdx 为某函数),(y x u 的全微分；4°：yPx Q 在G 内处处成立． （3°中有：),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ）二、曲面积分 1．定义：（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）ni iiiiS f dS z y x f 1),,(lim ),,(物理意义：曲面 的质量。