x2－1 （x＋1）·（x－1） x－1
x2＋2x＋1＝
（x＋1）2
＝x＋1.
x－1
2－1 1
将 x＝2 代入x＋1，得原式＝2＋1＝3.
题型分类 题型四 分式方程的解法
【例 4】 (2012·天门) 解分式方程：2x2－x 5－2x2＋5＝1.
解 原方程可变形为 2x(2x＋5)－2(2x－5)＝(2x－5)(2x＋5)， 展开，得 4x2＋10x－4x＋10＝4x2－25, 整理得 6x＝－35，解得 x＝－365. 检验：x＝－365时，2x＋5≠0，且 2x－5≠0， ∴x＝－365是原分式方程的解.
(2)(2012·荆门东宝区模拟) 若关于 x 的分式方程xx－－a1－3x＝1 无解，则 a＝__1_或__－__2_．
解析 xx－－a1－3x＝1， 去分母，得 x(x－a)－3(x－1)＝x(x－1)， 整理，得(a＋2)x＝3. 当 a＋2＝0 时，a＝－2，方程无解； 当 x＝1 时，a＋2＝3，a＝1，方程无解． 综上，a＝1 或－2.
基础自测
1．(2012·韶山初三质量检测) 若分式x－2 5有．意．义．，则 x 的
取值范围是 A．x≠5 C．x>5
B．x≠－5 D．x>－5
( A)
解析 若分式x－2 5有意义，则分母 x－5≠0，x≠5.
基础自测
2．(2011·珠海) 若分式a2＋ab的 a、b 的值同时扩大到原来
的 10 倍，则此分式的值 A．是原来的 20 倍
解析 xx－＋yy＝－yy－＋xx.
( D)
B. －aa＋－bb＝－1 x－y y－x
D. x＋y＝y＋x
题型分类 题型三 分式的四则混合运算
【例 3】 (2012·河南) 先化简x2x－2－4x2＋x 4÷x－4x，然后从 － 5<x< 5的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入
题型分类 题型二 分式的性质
a2－b2
2a－2b
知能迁移 2 1
(1)(2011·聊城) 化简：a2＋2ab＋b2÷ a＋b
＝____2____．
（a＋b）（a－b） a＋b 1 解析 原式＝ （a＋b）2 ·2（a－b）＝2.
题型分类
题型二 分式的性质
(2)下列运算中，错误的是 A. ab＝abcc(c≠0) 0.5a＋b 5a＋10b C. 0.2a－0.3b＝ 2a－3b
题型分类 题型四 分式方程的解法
4 x＋2 知能迁移 4 (1)(2012·梅州) 解方程：x2－1＋1－x＝－1.
解 方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得 4－(x＋1)(x＋2)＝－(x2－1)， 整理得 3x＝1，解得 x＝13. 经检验，x＝13是原方程的解． 故原方程的解是 x＝13.
探究提高
(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式 变形都不得与此相违背，否则分式的值改变； (2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因 式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解 因式，然后再约分，约分应彻底； (3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题， 可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求 得结果．
题型分类 题型三 分式的四则混合运算
a2－2ab＋b2 知能迁移 3 (1)(2012·长沙)先化简，再求值： a2－b2
b ＋a＋b，其中 a＝－2，b＝1.
（a－b）2
b a－b b a
解 原式＝（a＋b）（a－b）＋a＋b＝a＋b＋a＋b＝a＋b，
把 a＝－2，b＝1 代入得：原式＝－－2＋2 1＝2.
题型分类
题型二 分式的性质
【例 2】 (1)(2012·德州) 已知：x＝ 3＋1，y＝ 3－1， x2－2xy＋y2
求 x2－y2 的值.
（x－y）2
x－y
解 原式＝（x－y）（x＋y）＝x＋y.
当 x＝
3＋1，y＝
3－1 时，原式＝ 2
2
＝ 3
1＝ 3
33.
题型分类
题型二 分式的性质
(2)已知1x－1y＝3，求分式2xx－－124xxyy－－y2y的值. 解 解法一：∵1x－1y＝3， ∴y－xyx＝3，y－x＝3xy，x－y＝－3xy. 原式＝2xx－－2yy－－21x4yxy＝2（（xx－－yy））－－21x4yxy
＝－－63xxyy－－124xxyy＝－－250xxyy＝4.
解法二：∵1x－1y＝3，∴xy≠0， （2x－14xy－2y）÷xy
∴原式＝ （x－2xy－y）÷xy ＝2y1y－－124－－1x2x＝－－21xx1－－y11y－－214 ＝－－63－－124＝－－250＝4.
基础自测
5．(2011·芜湖) 分式方程2xx－－25＝2－3 x的解是
A．x＝－2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝1 或 x＝2
( C)
解析 当 x＝1 时，方程左边＝2×1－1－2 5＝－－31＝3， 右边＝2－3 1＝3，∴x＝1 是方程的解.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型分类 题型一 分式的概念,求字母的取值范围
【例 1】 (1)(2012·宁夏)当 a __≠__－__2__时，分式a＋1 2有意义． 解析 当 a＋2≠0，a≠－2 时，分式a＋1 2有意义． (2)(2011·泉州) 当 x＝____2____时，分式xx－＋22的值为 0. 解析 当 x－2＝0，x＝2 时，分母 x＋2＝4，分式的值为 0.
(2)(2011·贵阳) 在三个整式 x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x 中， 请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个 作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求 当 x＝2 时分式的值．
解 答案不唯一．如，选择 x2－1 为分子，x2＋2x＋1 为分母，
x2－1 组成分式x2＋2x＋1.
第4课 分式及其运算
要点梳理
1．分式的基本概念： (1)形如__AB_(_A_、__B_是__整_式__，__且__B_中__含_有__字__母__，__B_≠_0_)___的
2．式ABAB无 无分子意 意式叫((22义 义的分))当 当 ； ；基式__当 当本；__B____性≠________质0____A____＝：__时 时__0__， ，且__分 分__B__≠式 式____0ABAB__有 有____意 意时 时义 义， ，； ；分 分当 当式 式__ABAB__的 的B__＝__值 值__0__为 为__时 时零 零， ，． ．分 分式 式 分式的分子与分母都乘以(或除以)_同__一__个__不__等__于__零__的_
规范答题 解：x－x 2＋x－x 2＋2x（4xx－－a2）＝0， 去分母，得 2x2＋2(x－2)2＋4x－a＝0， 4x2－4x＋8－a＝0， 方程 4x2－4x＋8－a＝0 只有一个实根的情况有两种：
(1) 这个二次方程有相等的两实根，那么有 △＝(－4)2－4×4× (8－a)＝0，解得 a＝7， 这时 4x2－4x＋1＝0，x＝12是原方程的一个实数根．
a b a±b
同分母加减法：___c_±__c_＝___c________；
b d bc±ad
异分母加减法：___a_±__c_＝____a_c______．
要点梳理
(3)分式的乘除法： ba·cd＝__ab_·__cd_＝_ba_dc___； ba÷cd＝__ab_÷__cd_＝__ba_cd__．
探究提高
(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最 简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将 分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分 式方程的每一项，不要漏乘常数项； (2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分 母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分 母为零，故应是原方程的增根，须舍去．
要点梳理
5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化
为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇有括 号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必 须是最简分式或整式．
6．解分式方程 其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验
根．使分母为 0 的未知数的值，是增根，需舍去．
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两个技巧
(1)分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法灵活，若能根据特点灵活求解，将 会事半功倍．如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”； ④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．
(2)分式求值中的常用技巧 分式求值题所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条 件和求值式的特征进行适当的变形、转化和沟通．主要有以下 技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒 数法．
求值．
（x－2）2 x2－4 解 原式＝x（x－2）÷ x
（x－2）2
x
1
＝x（x－2）·（x＋2）（x－2）＝x＋2.
∵－ 5<x< 5，且 x 为整数， ∴若使分式有意义，只能取－1 或 1.
当 x＝1 时，原式 x＝13；当 x＝－1 时，原式＝1.
探究提高
准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取 x 的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的 0 与±2.
( D)
B．是原来的 10 倍
1 C．是原来的10倍
D．不变
解析 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除 以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变．由此可知该运算 中分式的值没有改变，故选 D.
基础自测
x2
x
3．(2012·安徽) 化简x－1＋1－x的结果是
A．x＋1
B．x－1
C．－x
D．x
___x_≠__2__．
x
解知析能迁当移21x－(41≠)使0，分x式≠2x时－，4有分意式义有的意义x 的，取故 x 的取