第二章 函数 第一节 函数及其表示命题导航 考试要点命题预测(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.1.考向预测:(1)考查简单函数的定义域, (2)与实际背景结合,考查函数的表示方法与分段函数.2.学科素养:主要考查数学抽象、数学运算的核心素养.1.函数与映射的概念 函数映射两集合 A 、B设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合对应关系 f:A →B 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的③ 任意 一个数x,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y=f(x),x ∈A对应f:A →B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧值域.(2)函数的三要素:⑨定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法:解析法、图象法、列表法.▶提醒判断两个函数是否相同,抓住两点:①定义域是否相同;②对应关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+π2,k∈Z}.(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac-b 24a ,+∞),当a<0时,值域为(-∞,4ac-b24a].(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(✕)(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数.(√)(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.(✕)(4)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,则对应关系f是从A到B的映射.(✕)(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.(√)(6)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(✕)2.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()答案B3.下面各组函数中为相等函数的是()A.f(x)=√(x-1)2,g(x)=x-1B.f(x)=x-1,g(t)=t-1C.f(x)=√x2-1,g(x)=√x+1·√x-1D.f(x)=x,g(x)=x 2x答案B4.函数f(x)=√2x-1+1x-2的定义域为()A.[0,2)B.(2,+∞)C.[0,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案C5.已知f(12x-1)=2x-5,且f(a)=6,则a等于()A.74B.-74C.43D.-43答案A6.若函数f(x)={x2+1,x≤1,2x,x>1,则f(f(3))=.答案139函数、映射概念的理解典例1(1)给出下列四个对应:①A=R,B=R,对应关系f:x→y,y=1x+1;②A={a|12a∈N*},B={b|b=1n,n∈N*},对应关系f:a→b,b=1a;③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A到B的映射的为()A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是()A.y=(√x+1)2B.y=√x33+1C.y=x 2x+1 D.y=√x2+1答案(1)B(2)B解析(1)对于①,当x=-1时,y的值不存在,所以①不是从A到B的映射;对于②,A,B是两个集合,分别用列举法表述为A={2,4,6,…},B={1,12,13,14,…},由对应关系f:a→b,b=1a知,②是从A到B的映射;③不是从A到B的映射,如A中的元素1对应B中两个元素±1;④是从A 到B的映射.(2)对于A,函数y=(√x+1)2的定义域为{x|x≥-1},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y=x 2x+1的定义域为{x|x≠0},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.方法技巧1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是同一函数.2.判断一个从集合A到集合B的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1-1下列对应关系:①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根;②A=R,B=R,f:x→x的倒数;③A=R,B=R,f:x→x2-2;④A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2.其中是A到B的映射的是()A.①③B.②④C.③④D.②③答案C1-2下列四组函数中,表示相等函数的一组是()A.f(x)=|x|,g(x)=√x2B.f(x)=√x2,g(x)=(√x)2C.f(x)=x 2-1x-1,g(x)=x+1D.f(x)=√x+1·√x-1,g(x)=√x2-1答案 A函数的定义域命题方向一具体函数的定义域考法一已知函数解析式,求函数定义域典例2(1)函数f(x)=√x+1+lg(6-3x)的定义域为()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2]y=x 2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m 的值可能为( ) A.2 B .3 C.4 D.5 答案 (1)C (2)ABC解析 (1)要使函数f(x)=√x +1+lg(6-3x)有意义,则{x +1≥0,6-3x >0,即-1≤x<2.故函数f(x)的定义域为[-1,2).(2)易知函数y=x 2-4x-4的对称轴方程为x=2,当0≤m ≤2时,函数在[0,m]上单调递减,当x=0时,y 取得最大值,y max =-4,当x=m 时,有m 2-4m-4=-8,解得m=2;当m>2时,函数的最小值为-8,而f(0)=-4,由对称性可知,m ≤4. 综上,2≤m ≤4,故选ABC. 方法技巧(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.(2)复合函数的定义域:先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数的自变量的取值范围,同时还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可.▶提醒 (1)求函数的定义域时,先不要化简函数解析式; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式. 2-1 (1)函数f(x)=√2x -1-1的定义域是 .(2)函数f(x)=√-x 2+4x +1x -2的定义域是 . (3)函数f(x)=(x -12)√x+2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)[0,2)∪(2,4] (3)(-2,12)∪(12,+∞)考法二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y=mx -1mx +4mx+3的定义域为R,则实数m 的取值范围是( )A.(0,34] B .(0,34) C.[0,34] D.[0,34)(2)若函数f(x)=√ax 2+abx +b 的定义域为{x|1≤x ≤2},则a+b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx 2+4mx+3≠0恒成立, ①当m=0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m)2-4m×3<0, 得0<m<34,由①②得0≤m<34.(2)函数f(x)=2+abx +b 的定义域是不等式ax 2+abx+b ≥0的解集. 由题意知不等式ax 2+abx+b ≥0的解集为{x|1≤x ≤2}, 所以{a <0,1+2=-b,1×2=ba ,解得{a =-32,b =-3, 所以a+b=-32-3=-92. 方法技巧求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,然后求解. 2-2 若函数√ax 2-4ax+2的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax+2>0恒成立, 则a=0或{a >0,Δ=(-4a)2-4×a ×2<0,解得0≤a<12.命题方向二 抽象函数的定义域典例4 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是( ) A.[0,52] B.[-1,4] C.[-12,2]D.[-5,5](2)已知函数y=f(x 2-1)的定义域为[-√3,√3],则函数y=f(x)的定义域为 .答案(1)C(2)[-1,2]解析(1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3],∴-2≤2x-1≤3,即-12≤x≤2,即函数y=f(2x-1)的定义域为[-12,2].(2)因为y=f(x2-1)的定义域为[-√3,√3],所以x∈[-√3,√3],x2-1∈[-1,2],所以y=f(x)的定义域为[-1,2].方法技巧求函数y=f(g(x))的定义域:若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域;若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.2-3已知函数f(x)的定义域是[0,4],则g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是.答案[1,3]2-4已知函数f(x2-3)=lg x 2x-4,则f(x)的定义域为. 答案(1,+∞)函数的解析式典例5(1)已知x与函数f(x),g(x)的关系如下表所示:x123f(x)131g(x)321则f[g(1)]的值为;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是.(2)已知f(x+1x )=x2+1x2,求f(x)的解析式.(3)已知f(2x+1)=lg x,求f(x)的解析式.(4)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)的解析式.(5)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.答案(1)1;2解析 (1)f [g(1)]=f(3)=1. 当x=1时, f[g(1)]=1,g[f(1)]=g(1)=3, 不满足f[g(x)]>g[f(x)], 当x=2时, f[g(2)]=f(2)=3, g[f(2)]=g(3)=1,满足f[g(x)]>g[f(x)]. 当x=3时, f[g(3)]=f(1)=1,g[f(3)]=g(1)=3,不满足f[g(x)]>g[f(x)]. 故满足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值是2. (2)(配凑法)由于f (x +1x )=x 2+1x 2=(x +1x )2-2, 所以f(x)=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f(x)的解析式是f(x)=x 2-2,x ≥2或x ≤-2. (3)(换元法)令2x +1=t,得x=2t -1, 代入得f(t)=lg 2t -1.又x>0,所以t>1, 故f(x)的解析式是f(x)=lg 2x -1,x>1. (4)(待定系数法)设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0), 由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax 2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax 2+bx+x+1, 即ax 2+(2a+b)x+a+b=ax 2+(b+1)x+1, 所以{2a +b =b +1,a +b =1,解得a=b=12,所以f(x)=12x 2+12x.(5)(解方程组法)由f(-x)+2f(x)=2x ,① 得f(x)+2f(-x)=2-x ,② ①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x , 即f(x)=2x+1-2-x3.所以f(x)的解析式是f(x)=2x+1-2-x3.方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后以x替代g(x),即得f(x)的解析式.(2)换元法:已知函数f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令g(x)=t,从中解出x,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f(x)与f(1x)或f(-x)的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式.3-1(1)已知函数f(x),g(x)与x的关系如下表,x123g(x)132f(x)231则方程f(g(x))=x+1的解集是()A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.⌀(2)已知f(√x+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=x2B.f(x)=x2+1(x≥1)C.f(x)=x2-2x+2(x≥1)D.f(x)=x2-2x(x≥1)(3)若g(x+2)=2x+3,则g(x)的表达式为()A.g(x)=2x+1B.g(x)=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+7(4)已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x,求f(x)的解析式.(5)已知y=f(x)为一次函数,f[f(x)]=4x+3,求f(x)的解析式.答案(1)A(2)C(3)B解析(4)2f(x)+f(1x)=3x,①将①中的x换成1x ,得2f(1x)+f(x)=3x,②①×2-②,得3f(x)=6x-3x ,∴f(x)=2x-1x.(5)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a ≠0), 则f [f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b=4x+3, 根据对应项系数相等得a 2=4,ab+b=3, 解得{a =2,b =1或{a =-2,b =-3.所以f(x)的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.分段函数命题方向一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f(x)={x 2-2ax +9,x ≤1,x +4x +a,x >1,若f(x)的最小值为f(1),则实数a 的取值范围是 .答案 a ≥2解析 当x>1时, f(x)=x+4x +a ≥4+a,当且仅当x=2时,等号成立.当x ≤1时, f(x)=x 2-2ax+9,为二次函数,要想在x=1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x=a ≥1,并且f(1)≤4+a,即1-2a+9≤a+4,解得a ≥2.命题方向二 通过分段函数的图象解题典例7 已知函数f(x)={-4(x -12)2+1,0≤x <1,log 2 017x,x >1,若f(a)=f(b)=f(c)且a,b,c 互不相等,则a+b+c 的取值范围是 .答案 (2,2 018) 解析 作出函数f(x)={-4(x -12)2+1,0≤x <1,log 2 017x,x >1的大致图象,当0≤x<1时,函数f(x)=-4(x -12)2+1,其图象的对称轴为直线x=12,当f(x)=1时,由log 2 017x=1,计算出x=2 017,若a,b,c 互不相等,不妨设a<b<c. 因为f(a)=f(b)=f(c),所以由图象可知,0<a<12,12<b<1,1<c<2 017,且a+b2=12,即a+b=1,所以a+b+c=1+c,又2<1+c<2018,即2<a+b+c<2018,所以a+b+c的取值范围是(2,2018).命题方向三已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例8设函数f(x)={x2+2x,x<0,x+1,x≥0,则f(-1)=;若f(a)>f(a-1),则实数a的取值范围是.答案-1;(-12,+∞)规律总结分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.4-1(1)已知函数f(x)={-|x+1|+1,x≤0,-12x,x>0,则f(x)的最大值是.(2)已知函数f(x)={2x,x<0,a√x,x≥0,若f(-1)+f(1)=2,则a=.(3)已知f(x)={x-3,x≥9,f[f(x+4)],x<9,则f(7)=.答案(1)1(2)32(3)61.具有f(1x)=-f(x)性质的函数,我们称之为满足“倒负”变换的函数.给定下列函数:①f(x)=x-1x ;②f(x)=ln1-x1+x;③f(x)={x,0<x<1,0,x=1,-1x,x>1.其中满足“倒负”变换的函数是() A.①②B.①③C.②③D.①答案B对于①,f(x)=x-1x,f (1x )=1x-x=-f(x),满足;对于②,f(x)=ln1-x1+x,f(1x)=ln x-1x+1≠-f(x),不满足;对于③,f(1x)={1x,0<1x<1,0,1x=1,-x,1x>1,即f(1x )={1x,x>1,0,x=1,-x,0<x<1,则f(1x)=-f(x),满足.所以满足“倒负”变换的函数是①③.2.设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针方向旋转π6后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的值只能是()A.√3B.√32C.√33D.0答案B设f(1)处的点为A1,若f(x)的图象绕原点逆时针方向旋转π6后与原图象重合,则旋转后的A1的对应点A2也在f(x)的图象上,同理A2的对应点A3也在f(x)的图象上,以此类推.则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点.当f(x)的取值为√3时,在同一个x处可能同时存在2个f(x)值,如A1和A9,不符合函数定义,故A项错误.同理,当f(x)=√33和0时亦不符合函数定义,故C,D项错误.故f(1)的值只能是√32.A 组 基础题组1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) A.f(x)=x 2和f(x)=(x+1)2B.f(x)=(√x)2x 和f(x)=(√x)2C.f(x)=log a x 2和f(x)=2log a xD.f(x)=x-1和f(x)=√(x -1)2 答案 B2.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1) 答案 B3.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)=( ) A.3x+2 B.3x+1 C.3x-1 D.3x+4 答案 C4.已知f(10x )=x,则f(5)=( ) A.105 B.510 C.log 510 D.lg 5答案 D5.已知函数f(x)={2x ,x ≤3,x -3,x >3,则f(f(1)-f(5))的值为( )A.1B.2C.3D.-3 答案 A6.已知函数f(x)=1x 2+mx+m 的定义域是R,则实数m 的取值范围是( ) A.0<m<4 B.0≤m ≤4 C.0≤m<4 D.m ≥4 答案 A7. 设函数f:R →R 满足f(0)=1,且对任意x,y ∈R 都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 则f(2 017)=( )A.0B.1C.2 017 D .2 018答案 D 令x=y=0,则f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,将f(0)=1, f(1)=2代入,可得f(x)=1+x,所以f(2 017)=2 018,故选D. 8.已知函数y=f(x-2)的定义域是[0,4],则y=f(x+1)x -1的定义域是 .答案 [-3,1)9.已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时, f(x)=x 2,则f(3)= . 答案 92解析 ∵f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时, f(x)=x 2,∴f(3)=2f (32)=2×(32)2=92.B 组 提升题组1.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x 2,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x 2-12x+18 B.f(x)=13x 2-4x+6 C.f(x)=6x+9 D.f(x)=2x+3答案 B 由f(x)+2f(3-x)=x 2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=13x 2-4x+6,故选B.2.已知函数f(x)={(a -1)x +4-2a,x <1,1+log 2x,x ≥1,若f(x)的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f(x)=1+log 2x ≥1;当x<1时, f(x)=(a-1)x+4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f(x)的值域为R,可得{a -1>0,a -1+4-2a ≥1,解得a ∈(1,2].3.(2019衡阳模拟)已知函数f(x)=ax x -1,若f(x)+ f (1x )=3,则f(x)+f(2-x)= . 答案 6解析 ∵f(x)=ax x -1, f(x)+f (1x )=3, ∴f(x)+f (1x )=axx -1+a x 1x-1=ax x -1-a x -1=a(x -1)x -1=3,解得a=3,∴f(x)=3x x -1,∴f(x)+f(2-x)=3xx -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.4.已知函数f(x)=2x+12x -1,则f (12 017)+ f (22 017)+…+f (2 0162 017)= .答案 2 016 解析 ∵f(x)=2x+12x -1, ∴f(x)+f(1-x)=2x+12x -1+2(1-x)+12(1-x)-1=2,∴f (12 017)+f (22 017)+…+f (2 0162 017)=1 008×2=2 016. 素养拓展5.下图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 D 由题图知,在中间时间段y 的值不变,只有D 符合题意.6.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则{12 018}+{22 018}+…+{2 0182 018}=( ) A.2 017 B .2 0172C.1 008 D .2 016答案 B 由题意知,{12 018}=12 018,{22 018}=22 018,……,{2 0172 018}=2 0172 018,{2 0182 018}=0, 所以原式=12 018+22 018+…+2 0172 018=2 0172.7.若函数f(x)满足:在定义域D 内存在实数x 0,使得f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数: ①f(x)=1x ;②f(x)=2x ;③f(x)=lg(x 2+2).其中是“1的饱和函数”的所有序号为( )A.①③B.②C.①②D.③答案 B 对于①,若存在实数x 0,满足f(x 0+1)=f(x 0)+f(1),则1x+1=1x+1,所以x 02+x 0+1=0(x 0≠0,且x 0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数”;对于②,若存在实数x 0,满足f(x 0+1)=f(x 0)+f(1),则2x 0+1=2x 0+2,解得x 0=1,因此②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数x 0,满足f(x 0+1)=f(x 0)+f(1),则lg[(x 0+1)2+2]=lg(x 02+2)+lg(12+2),化简得2x 02-2x 0+3=0,显然该方程无实根,因此③不是“1的饱和函数”.。