函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件）①定义域一致 (化简前)②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；4．值域：先考虑其定义域（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、)0,(>+=b a xbax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法5. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法 描点法图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换6．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间（3）区间的数轴表示．7．映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足：(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

8．分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．9．复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

函数的性质1．函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间。

（2）减函数如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间。

注意：函数的单调性是函数的局部性质；（3）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（4）函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)导数法(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性相关，规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成其并集.2．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)叫做奇函数。

注：如果奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（4）函数奇偶性判定方法：(A)定义法○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2求出f(-x)，与f(x)进行比较；○3作结论：若f(-x) = f(x)，则f(x)是偶函数；若f(-x) = -f(x)，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定。

(B)借助函数的图象判定 .3、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法4、函数最大（小）值（1）一般的，设函数)(xfy=的定义域为I，如果存在实数M满足（a）对于任意的,Ix∈都有Mxf≤)(；（b）存在Ix∈0，使得Mxf=)(那么称M为)(xfy=的最大值。

（2）求函数最值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；函数的概念一、选择题1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．x y x f 21:=→B ．x y x f 31:=→ C ．x y x f 32:=→ D ．x y x f =→:2．某物体一天中的温度是时间t 的函数：603)(3+-=t t t T ，时间单位是小时，温度单位为℃，0=t 表示12:00，其后t 的取值为正，则上午8时的温度为( )A ．8℃B ．112℃C ．58℃D ．18℃ 3．函数y ＝x ＋1＋x -1的定义域是 A ．（-1，1） B ．[0，1] C ．[-1，1] D ．（-∞，-1） （1，+∞） 4．函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上5．函数341)(2++=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ． R B ． ]43,0[ C ．),43[+∞ D ．)43,0[二、填空题6．某种茶杯，每个元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________．7．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域是(用区间表示)________． 三、解答题8.求函数y ＝x ＋1x 2－4的定义域．9.已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，求函数)()(a x f a x f -++的定义域(其中210<<a ). 10.已知函数1)(2-+=x x x f (1)求)2(f (2)求)11(+xf (3)若5)(=x f ,求x 的值.函数相等、函数的值域1.下列各题中两个函数是否表示同一函数(1)1)(=x f ,0)(x x g = ( ) （2）24)(2--=x x x f ,2)(+=x x g ( )（3）x x x f 2)(2-=,t t t g 2)(2-= ( )（4）|1|)(-=x x f ,⎩⎨⎧<-≥-=)1(1)1(1)(x x x x x g ( )2.下列函数中值域是(0,+∞)的是A ．)0(12>+=x x yB ．2x y =C ．112-=x yD ．)0(2>x x3.设函数13)(2+-=x x x f ,则=--)()(a f a fA ．0B ．a 6-C ．222+aD ．2622+-a a4.已知)(x f 满足23)()(2+=-+x x f x f ,且316)2(-=-f ,则=)2(f 5.已知函数221)(x x x f += (1)计算)2(f 与)21(f (2)计算)3(f 与)31(f (3)计算)20111(...)41()31()21()2011(...)3()2()1(f f f f f f f f +++++++++6.求下列函数的值域: (1)342+-=x x y (2))5,1[,642∈+-=x x x y (3)}2,1,0,1,2{,12--∈-=x x y7.求函数xx x f 41332)(---=的定义域和值域.(提示:设x t 413-=)函数的表示法1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )2.已知x x f 2)2(=,则=)(x fA ．x 2B ．xC ．2xD ．x 43.已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (0)＝0，则f (4)的值是( )A ．5B ．－5C ．12D ．204.已知)(x f 是一次函数,若5)1(3)2(2=-f f ,1)1()0(2=--f f ,则)(x f 的解析式为A ．23)(+=x x fB ．23)(-=x x fC ．32)(+=x x fD ．32)(-=x x f 5．定义域为R 的函数f (x )满足12)(2)(+=-+x x f x f ，则)(x f ＝( )A ．－2x ＋1B ．2x －13C ．2x －1D ．－2x ＋136.若x x g 21)(-=,221))((x x x g f -=,则)21(f 的值是A ．1B ．15C ．4D ．307.函数)(x f 的图象经过点(1,1),则函数)4(-x f 的图象过点 8.已知)(x f 是二次函数,1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f ,求)(x f .9.若2627)))(((+=x x f f f ,求一次函数)(x f 的解析式.分段函数与映射1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3 (x ＞0)，1(x ＝0)，x ＋4(x ＜0).则f (f (f (－4)))＝( ) A ．－4B ．4C ．3D ．－32已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=)1(2)1(12)(2x x x x x x f ,(1)试比较))3((-f f 与))3((f f 的大小.(2)若3)(=a f ,求a 的值.3.画出下列函数的图象,并写出值域.(1)||)(x x f = (2)|2|)(2x x x f += (3)|3||5|)(++-=x x x f函数的单调性1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）=2x-1 =3x 2-1 =x2=2x 2+x+12.设函数b x a x f +-=)12()(是（-∞，+∞）上的减函数，若a ∈R, 则 （ ） A.21≥a B.21≤a C.21->a D.21<a3.函数y=4x 2-mx+5在区间[)∞+，2上是增函数，在区间(]2，∞-上是减函数，则m=________;4.根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间：5.函数f(x)=ax 2-(5a-2)x-4在[)+∞,2上是增函数, 则a 的取值范围是______________.6.判断函数xx y 4+=在在[)∞+，2上的单调性,并用定义证明. 7.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.函数的最大（小）值与值域1.当]5,0[∈x 时,函数143)(2+-=x x x f 的值域为A.)]5(),0([f fB.)]32(),0([f f C.)]5(),32([f f D.)]5(),0((f f2.函数11)(-=x x f 在区间]6,2[上的最大值和最小值分别是 A.1,51 B.51,1 C.1,71 D.71,13.函数x x x f +-=12)(的值域是A.),21[+∞B.]21,(-∞ C.),0(+∞ D.),1[+∞4.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=2,321,210,2)(x x x x x f 的值域是A.RB.]3,0[C.),0[+∞D.}3{]2,0[5.若410≤<t ,则代数式t t -1的最小值是A.2-B.4156.函数)(x f y =的定义域为]6,4[-,且在区间]2,4[--上递减,在区间]6,2(-上递增,且)6()4(f f <-,则函数)(x f y =的最小值是 ,最大值是7.函数*,122N x x y ∈+=的最小值为8.已知函数322+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.函数的奇偶性1．下面说法正确的选项（ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．函数x x x f +=2)(是A ．偶函数B ．奇函数C ．既奇且偶函数D ．非奇非偶函数3．函数px x x y +=||，R x ∈是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．与p 有关4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值5．如果函数R x x f ∈),(是奇函数,且)2()1(f f <,则必有A ．)2()1(-<-f fB ．)2()1(->-f fC ．)1()1(f f =-D ． )2()1(-=-f f6．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .7．（12分）判断下列函数的奇偶性①xx x f 1)(3+=； ②x x x f 2112)(-+-=；③x x x f +=4)(； ④2|2|1)(2-+-=x x x f 。