2、模型转化(微分方程→状态方程)
由倒摆系统的动力学模型，
取如下状态变量：
2 ml(cos ) u ml(sin ) (M m) x m gsin cos m l m x
z1
z 1 z2
z3 x
z 3 z4 x


本综合设计涉及的相关课程主要有自动控制原理、现代控制 理论、过程控制、MATLAB及控制系统仿真等。
自动化专业课程设计（二）

3、基本流程： （1）系统分析及数学模型建立 （2）开环系统仿真及动态特性分析


（3）控制方案设计及闭环系统仿真实验
（4）实验结果分析 （5）撰写设计报告 4、要求： （1）要求理论正确，设计合理、仿真数据准确
最后得到倒立摆系统的动力学方程：
2 ml(cos ) u ml(sin ) (M m) x m gsin cos m l m x
显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施 加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因 此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变 化，为此将系统在该参考位置(θ＝0)附近进行线性化 处理。
另一个是绕轴线的转动（旋转运动）
沿水平方向运动（直线运动）
通过受力分析，由牛顿第二运动定律， 系统的运动满足下面的方程：
竖直方向受到的合外力
Fy
x轴方向：
Y
2
d d M 2 x m 2 xG u dt dt
小球的重心坐标满足
2
水平方向受到的合外力
Fx
xG x l sin yG l cos
op=2*clp。
（3）指定极点的观测器增益G。同样应用place函数： G=place(A’,C’,op),G=G’。
系统方框图：
v － u B
x
∫
A
x
C
Ks G v － u B
y
ˆ x
ˆ x
∫
A
C
－ y ˆ
设计过程 1、建立倒立摆的数学模型
采用状态反馈进行极点配置
动力学数学模型 状态空间表达式（线性） （非线性微分方程形式） 状态空间表达式（非线性）
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。 实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定
的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出， 应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信 号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、
d d M 2 x m 2 ( x l sin ) u dt dt
整理后得
2 2

x
l
( xG , yG )
G
X
小球受力分析示意图，其中
( xG , yG ) 表示小球的重心坐标
2 ml(cos ) u ml(sin ) (M m) x
绕轴线的转动（旋转运动）
锅炉过热蒸汽温度控制的基本任务 就是维持过热器出口温度在允许范围内, 5 o 高参数电厂54010 C 保护设备安全， 并使生产过程经济、高效的持续运行。 影响蒸汽温度的因素： 减温水量 QW （控制量） 蒸汽流量 D 烟气热量 QH
（二）蒸汽温度系统开环模型建立
减温水量对蒸汽温度的影响
假定系统的输出为倒摆的角度和小车的x轴坐标，则系统的 输出方程为： 1 0 0 0 y CZ z 0 0 1 0 x x
（二）状态反馈的倒摆系统设计
1、系统的开环仿真
2、输出反馈设计方法
z2 2 u cos z1 ( M m) g sin z1 ml (cos z1 sin z1 ) z2 2 ml cos z1 ( M m)l d d z z4 dt dt x 2 x u ml (sin z ) z mg cos z sin z 1 2 1 1 2 M m m cos z1
2
Fx
L G X
x
xG x l sin yG l cos
2 ml (cos2 ) ml (sin cos ) 2 cos ml (sin cos ) mx
mg sin ml (sin )
2
整理可得：
mgsin cos ml m x
s 0
B B * Nr
所以有
Nr=-1/C (A-B*Ks)-1 B
4、全维状态观测器的倒立摆控制系统设计与仿真
具体设计步骤如下：
（1）系统的可观性判别。应用可观性判别矩阵 OM=obsv(A,C)判别可观性。 （2）闭环极点配置。适当选择观测器的极点，使观测器 的动态速度是系统的两倍以上，观测器的极点

（2）设计报告撰写规范
自动化专业课程设计（二）


5、具体设计内容：
（1）基于观测器的倒立摆控制系统设计及仿真
（2）锅炉过热汽温控制系统设计及仿真
6、要求： （1）要求理论正确，设计合理、仿真数据准确； （2）设计报告撰写规范
7、评分

平时成绩

60% 40% 40% 20%
通过反复的调整和研究增益k1、k2对于系统误差的 敏感性，最终能够稳定系统。然而系统的动态性能远不能 让人满意，对于k1=-50,k2=-2，系统只是临界稳定，它仍 在新的参考点附近反复震荡。
输出反馈的仿真结果：
倒摆的角度
小车的位置
3、状态反馈设计：
具体设计步骤如下： (1)系统可控性判别。应用可控性判别矩阵CM=ctrb(A,B) 判别. (2)闭环系统的极点配置。根据系统的动态性能，确定闭 环系统期望极点clp。
自动化专业课程设计（二）
MATLAB及控制系统仿真课程设计
自动化专业课程设计（二）
MATLAB及控制系统仿真课程设计

1、目的： 加强学生对控制理论及控制系统的理解，熟练应用计算机仿 真常用算法和工具，完成控制系统计算机辅助设计的训练。 提高学生对控制系统的综合及设计技能，扩大学生的知识面， 培养学生独立分析问题及解决问题的能力，为以后从事实际 控制系统的设计工作打下基础。 2、涉及的相关课程：
2、倒立摆的状态空间分析法设计
基于全维观测器，用状态反馈进行极点配置 状态空间表达式（线性）
3、基于MATLAB的倒立摆系统仿真设计
（MATLAB语言程序设计和SIMULINK模型建立） 建立倒立摆的开环仿真模型，观察输出曲线 设计状态反馈进行极点配置，分析曲线 设计观测器和状态反馈进行极点配置，分析曲线 根据非线性数学模型建立开环仿真模型，观察输出曲线 采用以上设计的观测器和状态反馈进行控制，分析曲线
化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模 存在一定的困难。但是经过假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆 系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用 经典力学理论建立系统的动力学方程关系。
（一）一级倒立摆系统的数学模型
系统的组成系统由小 车、小球和轻质杆组成。


学习控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所 学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松 的实验中对所学课程加深了理解。

倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是 进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变 量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究 人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出 新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科 技和机器人学方面获得了广阔的应用。 二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆 系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志 上都会有大量的优秀论文出现。
倒摆通过转动关节安装在
驱动小车上，杆子的一端 固定在小车上，另一端可 以自由地左右倒下。通过 对小车施加一定的外部驱
动力，使倒摆保持一定的
姿势。
本设计中所用到的各变量的取值及其意义：
小车质量 小球的质量
M 2.0kg ；
m 0.1kg ；
倒摆的杆长 l 0.5m ； 重力加速度 g 9.81 ；
表示倒摆偏离垂直
方向的角度；
u 是小车受到的水平方向 的驱动力；
1、运动分析：
假设轨道是光滑的，忽 略摆杆的质量，系统所受的 外力包括小球受到的重力和 小车水平方向的驱动力 u。 x(t)和θ(t)分别表示小车的 水平坐标和倒摆偏离垂直方 向的角度。
Y
X
一级倒立摆有两个运动自由度：
一个是沿水平方向运动（直线运动）
Y
小球的力矩平衡方程：
Fy
(Fx cos )l (Fy sin )l (mg sin )l

d 2 l (cos ) ] l (sin ) Fx m 2 xG m[ x dt
d2 2 l (sin ) ] Fy m 2 yG m[l (cos ) dt
MATLAB及控制系统仿真课程设计
二、锅炉过热汽温控制系统设计及仿真 （分数占比20%）
（一）蒸汽温度控制的任务
锅炉出口过热蒸汽温度是蒸汽的重要质量指标，是整个锅炉汽水通道中温 度最高的，直接关系到设备的安全和系统的生产效率。 过高，使金属强度降低，影响设备安全； 过低，使全厂热效率显著下降，每下降 5 oC 使热效率下降 1%
可得到倒摆系统的状态方程：
3、状态方程的线性化：
采用Jacobian 矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为：