.由于
故 点到
， ，所以
，
.所以
的距离相等，所以 为球心，且球的半径为 ，故表面积为
,平 ， ， .
【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档
题.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.数列 中，
，
.
（1）求 ， 的值；
（2）已知数列 的通项公式是
时退出循环，求得输出 的值.
【详解】运行程序，
，判断否，
，判断否，
D. ，判断否，……，
以此类推，
，判断是，输出
.故选 C.
【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1（单位 mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则
该零件的体积（单位： ）为（ ）
【详解】（1）∵
，
∴
∴
（2）由数列 的通项公式是
，
，
中的一个，和 得数
列 的通项公式是
由
可得
∴
∴
∵
，
∴
即
由
，得
，解得
或
∵ 是正整数，
∴所求 的取值范围为
，且 是正整数
【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题.
18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了 、 两种不同型号的节排器，规定性能质量
12.已知 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 ， 满足
，若
，
则 的最小值为（ ）
A. -1
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】
利用对数的运算公式，化简
，求得 的值，由此求得 的关系式，化简
，并利用导数求得最小值.
【详解】依题意
，即
，由于
，
故上式解得
，即 .所以
.构造函数
（ 为不等于
的正数）.
【详解】由于为圆心的圆与直线
相切且经过点
，根据抛物线的定义可知 为抛
物线的焦点，故 ， ，所以抛物线方程为
.设斜率为 的直线的方程为
，
则
，代入抛物线方程得
，即
，所以
，
.即 中点的纵坐标为 ，故选 A.
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
10.已知函数
，若
，则
云南省 2020 届高三数学第一次高中毕业生复习统一检测试题 文（含
解析）
一、选择题：本大共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
，
，
，则 的真子集共有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.
的图象，只需要将函数
的图象（ ）
A. 向左平行移动 个单位
B. 向右平行移动 个单位
C. 向左平行移动 个单位
D. 向右平行移动 个单位
【答案】D 【解析】 【分析】
利用
计算出项右平移的单位.
【详解】依题意 像.
向右平移
个单位，得到
的图
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，主要是平移变换，属于基础题.
角形，则 的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据
是有一个内角为 的等腰三角形，求得 点的坐标，代入双曲线方程，化简后求
得离心率.
【详解】不妨设 在第一象限，由于
是有一个内角为 的等腰三角形，故
，
代入双曲线方程得
，化简得
，
，解得
，
故
.所以选 C.
【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题.
．
（1）求函数 在点
处的切线方程；
（2）求证：函数 只有一个零点 ，且
．
【答案】（1）
（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）利用导数求得斜率，求得切点的坐标，由此求得切线方程.（2）首先根据零点存在性
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过分析后将 代入函数第二段表达式，解方程求得 的值，进而求得
【详解】由于
，而
，故
，
的值. ，所以
.故
.故选 B.
【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查指数函数的值域，考查对数运算，属于基础题.
11.双曲线 的焦点是 ， ，若双曲线 上存在点 ，使
是有一个内角为 的等腰三
在点 处取得最大值，且
最大值为
.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路 是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接 着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所 求的最值.属于基础题.
【详解】依题意
，其真子集为 ，只有一个真子集，故选 B.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.
2.已知为虚数单位，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.
【详解】依题意，原式
，故选 A.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概
16.已知 ， ， ， ， 是球 的球面上的五个点，四边形 为梯形，
，
，
，
，
,平面
平面 ，则球 的表面积为
_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设 的中点为 ，证明 是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.
【详解】设 中点为 ，设 中点为 ，作出图像如下图所示，由于
，
面
平面
,所以
,
平面
，故
当直线 的斜率存在且不为 时，设出直线 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦
达定理，根据弦长公式计算出
的长，进而证得等式成立.
【详解】（1）解：根据已知设椭圆 的方程为
，
∵在 轴上方使 ∴在 轴上方使
成立的点 只有一个， 成立的点 是椭圆 的短轴的端点
当点 是短轴的端点时，由已知得
解得
∴椭圆 的方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为
，故选 A. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.
7.为得到函数
上的任意一点，以 为圆心的圆与直线
相切且经过点
，设斜率为 1 的直线与抛物线 交于 ， 两点，则线段 的中点的纵坐标为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为 的直线的方程，联立直线的方程和抛物
线方程，消去 ，然后利用韦达定理求得 中点的纵坐标.
念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部
与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即
的形式，再根据题意求解.
3.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内
容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽
【详解】由于 ，故
，解得 .
【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查运算求解能，属于基础题.
14.若 ， 满足约束条件
，则目标函数
的最大值等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向上平移基准直线
到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最
大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数
∴ 平面
（2）解：设点 到平面 的距离为
由 平面 得
点 到平面 的距离也为
连接
，∵ 平面
∴
，由题设得
，
在 中，由已知得
，
，
，
∴
由
，得
∴点 到平面 的距离为 【点睛】本小题主要考查线线平行的证明，考查利用等体积法求点到面的距离，属于中档题. 20.已知椭圆 的中心在原点，左焦点 、右焦点 都在 轴上，点 是椭圆 上的动点，
【解析】
【分析】
（1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是
.（2）根据
题目所给数据填写好 联表.（2）计算 的值，由此判断出有 的把握认为 两种不
同型号的节排器性能质量有差异.
【详解】解：（1）
；
（2）列联表如下：
A 型节排器
优质品
180
非优质品
320
总计
500
B 型节排器 140 360 500
评分在
的为优质品．现从该厂生产的 、 两种型号的节排器中，分别随机抽取 500
件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；
，
，
，
，
，
，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）设 500 件 型产品性能质量评分的中位数为 ，直接写出 所在的分组区间； （2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；