第三章 函数的应用1：函数的零点【典例精析】例题1 求下列函数的零点。

（1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2x －2）（2x －3x ＋2）。

思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。

答案：（1）①当x≥0时，y=x 2+2x －3，x 2+2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2－2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2+2|x|－3的零点是－1，1。

（2）由（2x －2）（2x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。

∴函数y ＝（x 2－2）（x 2－3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。

点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。

例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a ∈R +）的解的个数是______________。

思路导航：根据a 为正数，得到a 2+1＞1，然后作出y=|x 2－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2+1的图象与y=|x 2－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。

∵a ∈R +∴a 2+1＞1。

而y=|x 2－2x|的图象如图，∴y=|x 2－2x|的图象与y=a 2+1的图象总有两个交点。

∴方程有两解。

答案：2个点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。

做题时注意利用数形结合的思想方法。

例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2－ax 的零点是（ ）A. 0，2B. 0，12C. 0，－12D. 2，－12思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。

令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－12，故选C 。

答案：C【总结提升】1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。

2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了动与静、变量与常量的辩证统一。

函数零点的求法：（1）解方程f （x ）＝0，所得实数根就是f （x ）的零点；（2）画出函数y ＝f （x ）的图象，图象与x 轴交点的横坐标即为函数f （x ）的零点。

3. 函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数f （x ）的零点，就是方程f （x ）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f （x ）＝0是否有实数根，有几个实数根。

4. 函数y=f （x ）的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法。

2：二分法【考点精讲】1. 函数零点的存在性判断——二分法如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在x 0∈（a ，b ），使f （x 0）＝0，这个x 0也就是方程f （x ）＝0的根。

2. 逆定理：如果函数y=f （x ）在[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，且x 0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f （a ）·f （b ）<0。

如f （x ）=x 2，在区间[－1，1]上有零点x=0，但f （－1）·f （1）>0。

3. 用二分法求函数零点的步骤：已知函数y =f （x ）定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点x 0的近似值x ，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x －x 0|≤ε。

（1）在D 内取一个闭区间［a ，b ］ D ，使f （a ）与f （b ）异号，即f （a ）·f （b ）＜0。

令a 0=a ，b 0=b 。

（2）取区间［a 0，b 0］的中点，则此中点对应的横坐标为x 0=a 0+21（b 0－a 0）=21（a 0+b 0）。

计算f （x 0）和f （a 0）。

判断：①如果f （x 0）=0，则x 0就是f （x ）的零点，计算终止；②如果f （a 0）·f （x 0）＜0，则零点位于区间［a 0，x 0］内，令a 1=a 0，b 1=x 0； ③如果f （a 0）·f （x 0）＞0，则零点位于区间［x 0，b 0］内，令a 1=x 0，b 1=b 0。

（3）取区间［a 1，b 1］的中点，则此中点对应的横坐标为x 1=a 1+21（b 1－a 1）=21（a 1+b 1）。

计算f （x 1）和f （a 1）。

判断：①如果f （x 1）=0，则x 1就是f （x ）的零点，计算终止；②如果f （a 1）·f （x 1）＜0，则零点位于区间［a 1，x 1］上，令a 2=a 1，b 2=x 1。

③如果f （a 1）·f （x 1）＞0，则零点位于区间［x 1，b 1］上，令a 2=x 1，b 2=b 1。

……实施上述步骤，函数的零点总位于区间［a n ，b n ］上，当|a n －b n |＜2ε时，区间［a n ，b n ］的中点x n =21（a n +b n ）就是函数y =f （x ）的近似零点，计算终止。

这时函数y =f （x ）的近似零点与真正零点的误差不超过ε。

【典例精析】例题1 对于函数f （x ）＝x 2＋mx ＋n ，若f （a ）>0，f （b ）>0，则函数f （x ）在区间（a ，b ）内（ ）A. 一定有零点B. 一定没有零点C. 可能有两个零点D. 至多有一个零点思路导航：若函数f （x ）的图象及给定的区间（a ，b ），如图（1）、图（2）所示，可知A 错；若如图（3）所示，可知B 错、D 错。

故C 对。

答案：C点评：结合二次函数的图象来判断给定区间根的情况。

例题2 用二分法研究函数f （x ）＝x 3＋3x －1的零点时，经第一次计算得f （0）＜0，f （0.5）＞0，可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________，这时可判断0x ∈________。

思路导航：由题意知x 0∈（0，0.5），第二次计算应取x 1＝0.25，这时f （0.25）＝0.253＋3×0.25－1＜0，故x 0∈（0.25，0.5）。

答案：（0，0.5） f （0.25） （0.25，0.5）例题3 是否存在这样的实数a ，使函数f （x ）＝x 2＋（3a －2）x ＋a －1在区间[－1，3]上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点。

若存在，求出范围，若不存在，说明理由。

思路导航：运用二分法可以求出a 的范围，但是要注意检验。

答案：∵Δ＝（3a －2）2－4（4－1）＝9a 2－16a ＋8＝9⎝⎛⎭⎫a －892＋89＞0，∴若实数a 满足条件，则只需使f （－1）·f （3）≤0即可。

f （－1）·f （3）＝（1－3a ＋2＋a －1）·（9＋9a －6＋a －1）＝4（1－a ）（5a ＋1）≤0。

所以a ≤－15或a ≥1。

检验：（1）当f （－1）＝0时，a ＝1。

所以f （x ）＝x 2＋x 。

令f （x ）＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1。

方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠1。

（2）当f （3）＝0时，a ＝－15，此时f （x ）＝x 2－135x －65。

令f （x ）＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3。

方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠－15。

综上所述，a ＜－15或a ＞1。

【总结提升】本部分内容是高中数学的重难点，也是高考考查的重点，对于本部分内容的备考需注意以下两个方面：一是准确理解函数零点的概念及其存在性定理，能通过特殊值的函数值判断函数零点所在的区间；二是熟记常见函数的图象，牢记图象的基本特征，灵活运用函数图象解决相关问题。

高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法。

使用二分法求方程的近似解要注意： （i ）要使第一步中的区间[a ，b]长度尽量小；（ii ）区间[a ，b]的长度与一分为二的次数满足关系式||)21(nb a -。

3：函数零点的应用【考点精讲】二次函数零点分布：设)0(,)(2>++=a c bx ax x f 以下研究a>0 的情况，a<0分析方法同理（a ）二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足21x r x <<⇔函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点为21,x x 满足21x r x <<0)(<⇔r f（b ）方程)0(,02>=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足r x x >>12⇔二次函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点21,x x 满足r x x >>12⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->-=∆⇔0)(2042r f ra bac b（c ）方程)0(,02>=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足q x x p <<<21时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<>-=∆⇔0)(0)(2-042q f p f q a b p ac b（d ）二次方程)0(02>=++a c bx ax 的两个根满足q x p x <<<21⇔函数c bx ax x f ++=2)(的零点满足q x p x <<<21⎩⎨⎧><⇔0)(0)(q f p f（e ）二次方程)0(02>=++a c bx ax 的两个根有且只有一个根在（p ，q ）内⇔函数)0()(2>++=a c bx ax x f 的两个零点有且只有一个在区间（p ，q ）内0)()(<⇔q f p f 或检验f （p ）=0，f （q ）=0并检验另一根在（p ，q ）内。