2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试卷一、选择题：每小题3分，共24分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案代号字母在答题卡相应位置涂黑．1．要使式子有意义，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．143．某大学为了解法学院1500名新生的身高情况，采用随机抽查的方式用300名新生的身高为样本进行统计，其中身高在170cm﹣175cm的有75人，那么估计法学院新生身高在170cm ﹣175cm的人数约是（）A．300 B．325 C．375 D．4504．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点是B，已知∠A=30°，则∠C等于（）A．40°B．30°C．60°D．45°5．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣17．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为______．10．如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为______．11．方程x2﹣2x﹣1=0的解是______．12．方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是______．13．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是______．14．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AB上，且∠ADE=60°，CD=2cm，BE=cm，则AB=______．15．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E，若DE=1，∠C=30°，则图中阴影部分的面积是______．三、解答题：本大题共8个小题，共75分．16．计算下列各题：（1）；（2）．17．某乡镇企业生产部有技术工人10人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这10人某月的加工零件个数；每人加工零件数80 75 70 50 40 35人数 1 1 1 4 2 1（1）写出这10人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为60件，你认为这个定额是否合理，为什么？18．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．19．如图，河岸BD北侧有两个村庄A、C，C村庄到河岸的距离CD为300米，此时，A 村庄在河岸D处的西北方向，在C村庄的北偏西60°方向上，求两村庄之间的距离AC．（结果保留整数，参考数据：）20．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．21．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．22．为积极响应市委，市政府提出的“实现伟大中国梦，建设美丽攀枝花”的号召，我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数为9篇的4个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．23．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在x 轴上，点B的纵坐标为2，点P为y轴右侧抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB 于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，直线AB与y轴交于点E，当m为何值时，以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）在直线AB的下方的抛物线上存在点P，满足∠PBD=45°，请直接写出此时的点P的坐标．2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共24分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案代号字母在答题卡相应位置涂黑．1．要使式子有意义，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：m≥﹣1且m≠1．故选：D．2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=8．故选B．3．某大学为了解法学院1500名新生的身高情况，采用随机抽查的方式用300名新生的身高为样本进行统计，其中身高在170cm﹣175cm的有75人，那么估计法学院新生身高在170cm ﹣175cm的人数约是（）A．300 B．325 C．375 D．450【考点】用样本估计总体．【分析】利用总人数1500乘以身高在170cm﹣175cm所占的百分比即可．【解答】解：根据题意得：1500×=375（人）．答：估计法学院新生身高在170cm﹣175cm的人数约是375人；故选C．4．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点是B，已知∠A=30°，则∠C等于（）A．40°B．30°C．60°D．45°【考点】切线的性质．【分析】连结OB，如图，根据切线的性质得∠ABO=90°，则利用互余得到∠AOB=90°﹣∠A=60°，由于∠OBC=∠C，则利用三角形外角性质可得∠C=∠AOB=30°．【解答】解：连结OB，如图，∵边AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∵∠AOB=∠OBC+∠C，∴∠C=∠AOB=30°．故选B．5．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．6．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac ＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．故选C．7．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似形综合题．【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，问题得解．【解答】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF=：S△BGE=EF：EG，∴S△BEF=×24=，故④正确．综上可知正确的结论的是3个．故选C．8．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉．【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：当x≤4时，y=6×8﹣（x•2x）=﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y=48﹣8x=﹣8x+48，此时函数的图象为直线y=﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．结合四个选项的图象知选A项．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（3，3）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故答案为：（3，3）．10．如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为．【考点】几何概率．【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，，观察发现：图中阴影部分面积=S四边形∴针头扎在阴影区域内的概率为；故答案为：．11．方程x2﹣2x﹣1=0的解是x1=1+，x2=1﹣．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+1=2，∴（x﹣1）2=2，∴x=1±，∴原方程的解为：x1=1+，x2=1﹣．故答案为：x1=1+，x2=1﹣．12．方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是﹣2．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．【解答】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（m+6）2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故答案为：﹣2．13．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是54°．【考点】圆周角定理；平行四边形的性质．【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAE=90°，然后用90°减去∠E，求出∠B等于多少度；最后根据平行四边形的对角相等，可得∠ADC=∠B，据此解答即可．【解答】解：∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∵∠E=36°，∴∠B=90°﹣∠E=90°﹣36°=54°，又∵∠ADC=∠B，∴∠ADC=54°．故答案为：54°．14．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AB上，且∠ADE=60°，CD=2cm，BE=cm，则AB=5cm．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】设AB=x，由△CAD∽△BDE，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：设AB=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AC=BC=AB=x，∵∠ADE=60°，∠ADE+∠BDE=∠C+∠CAD，∴∠CAD=∠BDE，∴△CAD∽△BDE，∴=，∴=，∴x=5，即AB=5，故答案为5cm．15．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E，若DE=1，∠C=30°，则图中阴影部分的面积是π﹣．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据已知条件求得DC=2，由于OD∥BC，于是得到∠ODA=30°，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，于是得到OA=，阴影部分面积即可求得．【解答】解：∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，∴DC=2，∵OD∥BC，∴∠ODA=30°，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=，∴阴影部分面积S=﹣×2×=π﹣，故答案为：π﹣．三、解答题：本大题共8个小题，共75分．16．计算下列各题：（1）；（2）．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用二次根式乘除法，零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2+1﹣2+﹣1+1=1；（2）原式=﹣+1﹣1=+﹣+1﹣1=．17．某乡镇企业生产部有技术工人10人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这10人某月的加工零件个数；每人加工零件数80 75 70 50 40 35人数 1 1 1 4 2 1（1）写出这10人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为60件，你认为这个定额是否合理，为什么？【考点】中位数；算术平均数；众数．【分析】根据平均数、中位数、众数的概念求解；并根据它们的意义判断60是否合理．【解答】解：（1）这10人该月加工零件数的平均数（80+75+70+50×4+40×2+35）=×540=54；中位数是50，众数是50；（2）不合理因为大多数工人达不到这一指标，不能调动工人的积极性．18．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．19．如图，河岸BD北侧有两个村庄A、C，C村庄到河岸的距离CD为300米，此时，A 村庄在河岸D处的西北方向，在C村庄的北偏西60°方向上，求两村庄之间的距离AC．（结果保留整数，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】作AE⊥DC于E，在Rt△ACE中，解直角三角形得出AC=2CE，AE=CE，设CE=x，则AC=2x，AE=x，在Rt△ADE中，证出AE=DE，得出方程，解方程求出CE，即可得出AC．【解答】解：作AE⊥DC于E，如图所示：在Rt△ACE中，∵∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴AC=2CE，AE=CE，设CE=x，则AC=2x，AE=x，在Rt△ADE中，DE=CE+CD=x+300，∠ADE=45°，∴AE=DE，即x=x+300，解得：x=150（+1），∴AC=2CE=300（+1）≈820（米）；答：两村庄之间的距离AC约为820米．20．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）•2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．21．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90°，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△BGD∽△DMA；（2）连结OD．由三角形中位线的性质得出OD∥AC，MN⊥AC，可得OD⊥MN，然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是⊙O的切线．【解答】证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G，∴∠BGD=∠DMA=90°．∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，∴∠ADM+∠CDM=90°，∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，∴∠DBG=∠ADM．在△BGD与△DMA中，∠BGD=∠DMA=90°，∠DBG=∠ADM．∴△BGD∽△DMA；（2）连结OD．∵BO=OA，BD=DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，∴OD⊥MN，∴直线MN是⊙O的切线．22．为积极响应市委，市政府提出的“实现伟大中国梦，建设美丽攀枝花”的号召，我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数为9篇的4个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．【分析】（1）根据投稿6篇的班级个数是3个，所占的比例是25%，可求总共班级个数，利用投稿篇数为2的比例乘以360°即可求解；（2）根据加权平均数公式可求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，再用总共班级个数﹣不同投稿情况的班级个数即可求解：（3）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解．【解答】解：（1）3÷25%=12（个），×360°=30°．故投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数为30°；（2）12﹣1﹣2﹣3﹣4=2（个），（2+3×2+5×2+6×3+9×4）÷12=72÷12=6（篇），将该条形统计图补充完整为：（3）画树状图如下：总共12种情况，不在同一年级的有8种情况，所选两个班正好不在同一年级的概率为：8÷12=．23．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在x 轴上，点B的纵坐标为2，点P为y轴右侧抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB 于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，直线AB与y轴交于点E，当m为何值时，以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）在直线AB的下方的抛物线上存在点P，满足∠PBD=45°，请直接写出此时的点P的坐标．【考点】二次函数综合题；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）只需先求出点A、B的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）易求出点E、C的坐标，从而求出EC的长．易证EC∥DP，要使以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，只需DP=EC，只需用含有m的代数式表示出点D、P的纵坐标，然后根据DP=EC建立关于m的方程并解此方程，就可解决问题；（3）连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．要求点P的坐标，只需求出直线BP的解析式，只需求出点F的坐标，只需求出AF 的长，易证△AOE∽△AGF∽△AHB，根据相似三角形的性质可得AG=2GF，AH=2BH=4，根据勾股定理可得AB=2．由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．设FG=x，则有AG=2x，BG=x，AB=3x=2，从而可求出x，根据勾股定理可求出AF，问题得以解决．【解答】解：（1）∵点A、B在直线y=x+上，y A=0，y B=2，∴x A=﹣1，x B=3，∴A（﹣1，0），B（3，2）．∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣；（2）∵点C是抛物线y=x2﹣x﹣与y轴的交点，∴C（0，﹣）．∵点E是直线y=x+与y轴的交点，∴E（0，），∴EC=﹣（﹣）=3．∵PD⊥x轴，∴x D=x P=m，∴y D=m+，y P=m2﹣m﹣，∴DP=|m2﹣m﹣﹣m﹣|=|m2﹣2m﹣3|．∵EC⊥x轴，DP⊥x轴，∴EC∥DP．∴当DP=EC=3时，以E、C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，此时|m2﹣2m﹣3|=3，解得m1=1+，m2=1﹣，m3=0，m4=2．∵点P为y轴右侧抛物线上一动点，∴m=1+或2；（3）点P的坐标为（，﹣）．提示：连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．易证△AOE∽△AGF∽△AHB，从而可得===，则有AG=2GF，AH=2BH=4，AB=2．由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．设FG=x，则AG=2x，AF=x，BG=x，AB=3x=2，即可得到x=，AF=，OF=AF﹣AO=，F（，0），运用待定系数法可得直线BF的解析式为y=3x﹣7．解方程组，得，，∴点P的坐标为（，﹣）．2020年9月24日。