微积分期末试卷
选择题(6X2)
1•设f(x) 2cosx,g(x) (1严在区间(0,—)内()。
2 2
A f (x)是增函数，g (x)是减函数
Bf (x)是减函数，g(x)是增函数
C二者都是增函数
D二者都是减函数
2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是()
A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小
1
3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)紺勺()
A连续点E可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点
4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )
n 1 n
A X n ( 1)n
B X n si n -
n n 2
1 1
C X n-(a 1)
D X n cos
a n
5、若f "(x)在X0处取得最大值，则必有()
A f /(X。
)o Bf /(X。
)o
Cf /(X。
)0且f''( X o)<O Df''(X o)不存在或f'(X o) 0
、4)
6、曲线y xe x( )
A仅有水平渐近线E仅有铅直渐近线
C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD
一、填空题
1、d ) = -^― dx
x +1
2、求过点(2,0 )的一条直线，使它与曲线y= -相切。
这条直线方程为:
x
2x
3、函数y=二一的反函数及其定义域与值域分别是：
2x+1
4、y=匹的拐点为：
2 ,
5、若lim X2a2,则a,b的值分别为：
1 x+ 2x-3
x
1 In x 1 ;
2 y x
3 2x 2
x
;3 y
也厂,©1)^ 4©0)
lim (x 1)(x m) 5 解：原式=x 1 (x 1)(x 3) m 7 b limU 」2 x 1 x 3 4 7,a 6 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小 lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、
若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X 0处连续不可导( )
5、 (x) 在 0,1 f '(x) 0令 A f'(0) f'(1),C f(1) f (0),则必有 A>B>C()
1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 x im 0
1
e x2
解：原式=lim x 0 1 x lim
e x2
( 2x x 0
J 2x 3
1 lim e x
x 0
2 若 f (x)
(x 3 10)4,求f ''(0) 解: 4( x 3 24x f'(x) f ''(x) f ''(x) 0 3 2 2 , 3 10) 3x 12x (x
.3 3 2 3
(x 10) 12x 3 (x 10) 3x 10)3
3 . 3 3
4 , 3 2
24x (x 10)
108x (x 10)
4
I o 2 3 求极限 lim(cos x)
x
x 0
4 ,
2I ncosx
解：原式=lim e x
x 0
5 tan3xdx
2
=sec x tan xdx tan xdx
6 求xarctanxdx
Q lim p Incosx
x 0x2
原式e2
I
>
解：In y
5ln3x
1
1 Jx 1
cosx
I
>
y
y
1 5 3 11
y 2 x 2
1
2(x 1)
1
2(x 2)
1
cosx
(sin x)tanx
lim lim x
x x 0 x x 0 x
222
4
Incosx
lim / e x 0
解：原式=tan2xtanxdx2
(sec x 1)tanxdx
=tan xd tan x
=tan xd tan x
sin x , dx
cosx
1 . d
cosx
cosx
= -ta n2x In cosx c
解：原式=1 arcta nxd(x 2)
1
(x 2 arcta nx
2 2
2
arcta nx
四、证明题。
1、证明方程x 3 x 1 0有且仅有一正实根。
证明：设f(x) x 3 x 1
Q f (0) 1 0, f (1) 1 0,且f (x)在 0,1 上连续
至少存在 (0,1),使得f '() 0
即f(x)在(0,1)内至少有一根，即f(x) 0在(0,) 假设f(x) 0在(0,)有两不同实根X 1,X 2,X 2为 Q f (x)在x 2,x 2上连续，在(x 2,x 2)内可导 且 f(xj f (x 2) 0
至少 (x 2,x 2), s tf ( ) 0 而f '( )
3 2 1 1与假设相矛盾
方程x 3 x 1 0有且只有一个正实根
2、证明 arcsinx arccosx -( 1 x 1)
2
证明：设 f (x) arcsinx arccosx
f (x) c f (0) arcsinO arccosO — f (1) arcsin1 arccos1 -
2
f ( 1) arcsin( 1) arccos( 1)
2
综上所述，f(x) arcsinx arccosx , x
2
0,x
1,
1
x 2d arctanx)
= 1(x 2
arcta nx 2
x 2 1 1 1 x 2
dx)
x 2
arcta nx
1 (1
F7)dx
内至少有一实根 1,1
五、应用题
1、描绘下列函数的图形
3.
X
(-8 广1) -1
(-1,0)
（o ?Ws
）
（疵亦）
Y 1
不存 在
■
+ Y" + 0
+
+
y
l 凹
捋点
t-1. /凸
\匹
极小 /凹
5x 0
6如图所示:
解：1.Dy=(- ,0) (0,+ )
2.y'=2x-4
x
2x 3 4•补充点(2,
7
).(-,
2 2
9
•(1,2).(2,2
x
2.讨论函数f(x) x2 Inx2的单调区间并求极值
解：Df (x) R
2 2(x 1)(x 1).
f '(x) 2x (x 0)
x x
令f'(x) 0,得X! 1,X2 1
由上表可知f(x)的单调递减区间为(，1)和(0,1)单调递增区间为(1,0)和(1 )
且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。