圆培优竞赛1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．125CD【答案】B．【解析】试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o.∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=3r 2.∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得PO==.∴GO=.∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OAPA OA OP==,即AH OH3rr2==∴AH OH=.∴GH GO OH=--.∵∠AGH=2∠APO=∠APB,∴AH12tan APB tan AGHG H5∠=∠===.故选B．考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用.2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ).A.R=5，r=2B.R=4，r=3/2C.R=4，r=2D.R=5，r=3/2【答案】D【解析】本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。

可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。

做圆心O'和正方形中心O。

设正方形边长为a。

设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J则连接OA.由勾股定理有OH=JH R=-所以22r a R R ++=。

将各个选项数据代入，知D 正确。

3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，则⊙E 的半径为（ ）．A ．78 B ．67 C ．56D ．1 【答案】B. 【解析】试题分析：作EH ⊥AC 于H ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AB 于G ，连结EB ，EC ，设⊙E 的半径为R ，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3， ∴4=，而AD 为中线，∴DC=2，∵以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切， ∴EG=EF=R ，∴HC=R ，AH=3-R ， ∵EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ADC ，∴EH ：CD=AH ：AC ， 即EH=2(3)3R -， ∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ，∴12×5×R+12×4×R+12×3×2(3)3R -=12×3×4， ∴R=67．故选B ．考点：切线的性质．4．如图，过D 、A 、C 三点的圆的圆心为E ，过B 、E 、F 三点的圆的圆心为D ，如果∠A=63 o ，那么∠B= ． 【答案】18°【解析】连接ED,CE,由图可知∠B=∠DEB, ∠ECD=∠EDC=2∠B ∵∠A=63 o ， ∴∠ECA=63 o∴∠A+∠ECA+∠ECD+∠B=180o ∴∠B=18°5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆图2中，MN 为大圆的直径，交小圆于点P 、Q ，大圆的弦MC 交小圆于点A 、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC ，则△MBQ 的面积为 .B【答案】3 15/8 【解析】小圆方程x 2 +y 2 =1 MC 方程 y = k(x+2), x =2y k - 解y 1y 2= 221k k -+,12y y= 21-3k 2=49此时MC =2B 点坐标为（14g 49) MBQ 面积=32g 493/2 = 278= 386．如图，已知⊙O 的半径为9cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝15 cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．动点A 自P 点以25cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，同时动点B 也自P 点以2cm/s 的速度沿射线PN 方向运动，则它们从点P 出发 s 后AB 所在直线与⊙O 相切.【答案】0.5s 或10.5s. 【解析】试题分析：PN 与⊙O 相切于点Q ，OQ ⊥PN ，即∠OQP=90°，在直角△OPQ 中根据勾股定理就可以求出PQ 的值,过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ．直线AB 与⊙O 相切，则△PAB ∽△POQ ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t 的值． 试题解析: 连接OQ ， ∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ⊥PN，即∠OQP=90°，∵OP=15，OQ=9，∴12=（cm）．过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵点A的运动速度为52cm/s，点B的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴PA=52t，PB=2t，∵PO=15，PQ=12，∴PA PB PO PQ=，∵∠P=∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA=∠PQO=90°，∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，∴四边形OCBQ为矩形．∴BQ=OC．∵⊙O的半径为，∴BQ=OC=9时，直线AB与⊙O相切．①当AB运动到如图1所示的位置，BQ=PQ-PB=12-2t，∵BQ=9，∴8-4t=9，∴t=0.25（s）．②当AB运动到如图2所示的位置，BQ=PB-PQ=2t-12，∵BQ=9，∴2t-12=9，∴t=10.5（s）．∴当t为0.5s或10.5s时直线AB与⊙O相切．考点: 1.切线的判定；2.勾股定理；3.矩形的性质；4.相似三角形的判定与性质．7．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点M），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴、y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM点P是弧AB上的动点.（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E.①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围.【答案】（1）90°；（2）①（0）；②，5≤S≤10．【解析】试题分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M），可得∠MOH=45°，，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM ，可得△AOM 是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB 的度数；（2）①由MH ⊥OD ，即可求得OD 与OM 的值，继而可得OB 的长，又由动点P 与点B 重合时，OP?OQ=20，可求得OQ 的长，继而求得答案；②由OD=Q 的纵坐标为t ，即可得S=12⨯，然后分别从当动点P 与B 点重合时，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为F 点，与当动点P 与A 点重合时，Q 点在y 轴上，去分析求解即可求得答案．试题解析：（1）过点M 作MH ⊥OD 于点H ，∵点M ），∴∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM ，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AM O=90°，∴∠AMB=90°；（2）①∵，MH ⊥OD ，∴=2，OD=2OH=，∴OB=4，∵动点P 与点B 重合时，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=∴E 点坐标为（0）；②∵OD=Q 的纵坐标为t ，∴S=12⨯，如图2，当动点P 与B 点重合时，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为F 点，∵OP=4，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=2，此时2=5；如图3，当动点P 与A 点重合时，Q 点在y 轴上，∴OP=∵OP?OQ=20，∴t=OQ=此时；∴S 的取值范围为5≤S≤10．考点：圆的综合题．8．（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若DE= （1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积. 【答案】（1）2；（2）2π-． 【解析】试题分析：（1）根据垂径定理得CE 的长，再根据已知DE 平分AO 得CO=12AO=12OE ，解直角三角形求解．（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．试题解析：（1）∵直径AB ⊥DE ，∴CE=12DE 平分AO ，∴CO=12AO=12OE ．又∵∠OCE=90°，∴sin ∠CEO=CO EO =12，∴∠CEO=30°．在Rt △COE 中，OE=cos30CE o=2，∴⊙O 的半径为2；（2）连接OF ．在Rt △DCP 中，∵∠DPC=45°，∴∠D=90°﹣45°=45°，∴∠EOF=2∠D=90°， ∴OEF S 扇形=2902360π⨯⨯=π． ∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，∴Rt OEFS ∆=12×OE×OF=2，∴S 阴影=Rt OEF OEF S S ∆-扇形=2π-．考点：1．扇形面积的计算；2．线段垂直平分线的性质；3．解直角三角形．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒） （1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形. （2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切 【答案】（1）4；（2）t 为4s ，203s ，283s 时，⊙P 与⊙Q 外切． 【解析】试题分析：（1）四边形APQD 为矩形，也就是AP=DQ ，分别用含t 的代数式表示，解即可；（2）主要考虑有四种情况，一种是P 在AB 上，一种是P 在BC 上时．一种是P 在CD 上时，又分为两种情况，一种是P 在Q 右侧，一种是P 在Q 左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可． 试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ 时，四边形APQD 为矩形．此时，4t=20-t ，解得t=4（s ）．答：t 为4时，四边形APQD 为矩形 （2）当PQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切．①如果点P 在AB 上运动．只有当四边形APQD 为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s ）； ②如果点P 在BC 上运动．此时t ≥5，则CQ ≥5，PQ ≥CQ ≥5＞4，∴⊙P 与⊙Q 外离； ③如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的右侧．可得CQ=t ，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=203（s ）； ④如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，4t-24-t=4， 解得t=283（s ）， ∵点P 从A 开始沿折线A-B-C-D 移动到D 需要11s ，点Q 从C 开始沿CD 边移动到D 需要20s ，而283＜11， ∴当t 为4s ，203s ，283s 时，⊙P 与⊙Q 外切．考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．10．（10分）如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点D 是AE 的中点，连接OD 并延长交⊙O 于点M ，∠BOE=60°，cosC=12，BC=（1）求A∠的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求弧AM的长度．【答案】（1）30°；（2）证明见试题解析；（3）π．【解析】试题分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．（3）根据垂径定理求得∠AOM=60°，运用三角函数的知识求出OA的长度，即可求得弧AM的长度．试题解析：（1）∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A，∴∠A=12∠BOE=12×60°=30°；（2）在△ABC中，∵cosC=12，∴∠C=60°，又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线；（3）∵点D是AE的中点，∴OM⊥AE，∵∠A=30°，∴∠AOM=60°，在RT△ABC中，tanC=ABBC，∵BC=32，∴AB=BC?tanC==6，∴OA=12AB=3，∴弧AM的长=603180π⨯=π．考点：切线的判定．11．已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）b=2+a或2﹣a；（3）时，以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．【解析】试题分析：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明.（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解.（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t：如答图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）.∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1，0）.∴OQ=1由（1）得△PMF≌△PNE ，∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1.当△OEQ∽△MPF. 当△OEQ ∽△MFP. （Ⅱ）如答图4，当t ＞2时，∵F （1+t ，0），F 和F′关于点M 对称，∴F′（1﹣t ，0） ∵经过M 、E 和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，∴Q （1，0）∴﹣1，由（1）得△PMF ≌△PNE ∴NE=MF=t.∴OE=t ﹣1.当△OEQ ∽△MPF. 当△OEQ ∽△Q 、O 、E 为顶点的三角形与以点P 、M 、F 为顶点的三角形相似． 试题解析：解：（1）证明：如答图1，连接PM ，PN ， ∵⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N ， ∴PM ⊥MF ，PN ⊥ON 且PM=PN∴∠PMF=∠PN E=90°且∠NPM=90°. ∵PE ⊥PF ，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE.在△PMF 和△PNE 中，NPE MPF PN PM PNE PMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PMF ≌△PNE （ASA ）.∴PE=PF.（2）①当t ＞1时，点E 在y 轴的负半轴上，如答图1， 由（1）得△PMF≌△PNE ，∴NE=MF=t ，PM=PN=1. ∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=NE ﹣ON=t ﹣1， ∴b﹣a=1+t ﹣（t ﹣1）=2，∴b=2+a.②0＜t≤1时，如答图2，点E 在y 轴的正半轴或原点上， 同理可证△PMF ≌△PNE ，∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=ON ﹣NE=1﹣t ， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a ，（3）以点Q 、O 、E 为顶点的三角形与以点P 、M 、F 为顶点的三角形相似．考点：1.单动点和轴对称问题；2.切线的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质；5.分类思想和方程思想的应用.12．如图（1）x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（﹣2，0）． （1）求此抛物线的解析式；（2）①若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，连接CD ，以OE 为直径作⊙M ，如图（2），试求当CD 与⊙M 相切时D 点的坐标；②点F 是x 轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G ，使A 、C 、G 、F 四点为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）21y x x 34=-++； （2）①（()3152+，()3358+）；②存在，（4，3）或（27,3+- ）或（27,3-- ）. 【解析】试题分析：（1）把A 的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c 的方程，求的c 的值，则抛物线的解析式即可求解.（2）①连接MC 、MD ，证明△COM ∽△MED ，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解. ②分四种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．试题解析：解：（1）∵点A （﹣2，0）在抛物线21y x x c 4=-++上， ∴()21022c 4=-⨯--+，解得c=3. ∴抛物线的解析式是：21y x x 34=-++.（2）①令D （x ，y ）,（x ＞0，y ＞0），则E （x ，0），M （x2，0）， 由（1）知C （0，3）， 如答图1，连接MC 、MD∵DE 、CD 与⊙O 相切，∴∠CMD=90°.∴△COM ∽△MED. ∴CO OM ME ED=，即x32x y 2=. 又∵21y x x 34=-++，∴2x32x 1x x 324=-++，解得x=()3152±. 又∵x ＞0，∴x=()3152+，∴()3y 358=+. ∴D 点的坐标是：（()3152+，()3358+）.②假设存在满足条件的点G （a ，b ）.若构成的四边形是□ACGF ，（答图2）则G 与C 关于直线x=2对称， ∴G 点的坐标是：（4，3）. 若构成的四边形是□ACFG ，（答图3，4）则由平行四边形的性质有b=3-， 又∵213a a 34-=-++，解得a=27±，此时G 点的坐标是：（27,3±- ）. 若构成的四边形是□AGCF ，（答图5）则CG FA ， ∴G 点的坐标是：（4，3）.显而易见，AFCG 不能构成平行四边形.综上所述，在抛物线上存在点G ，使A 、C 、G 、F 四点为顶点的四边形是平行四边形，点G 的坐标为（4，3）或（27,3+- ）或（27,3-- ）.考点：1.单动点问题；2.二次函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直线与圆相切的性质；5.相似三角形的判定和性质；6. 平行四边形的性质；7.分类思想的应用．13．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE 为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①存在，矩形EFCG的面积最大值为12【解析】试题分析：（1）只要证到三个内角等于90°即可．（2）①易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．②根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．试题解析：解：（1）证明：如图，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．如答图1，连接OD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB∵AD=4，AB=3，∴BD=5.∴S矩形ABCD=2S△CFE∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如答图1所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如答图2所示，此时⊙O与射线BD 相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如答图3所示．S△BCD∵S矩形ABCD∴矩形EFCG的面积最大值为12②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴点G考点：1.圆的综合题；2.单动点问题；3.垂线段最短的性质；4.直角三角形斜边上的中线的性质；5.矩形的判定和性质；6.圆周角定理；7.切线的性质；8.相似三角形的判定和性质；9.分类思想的应用．14．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB＝，AD＝4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时．．向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t(s)．（1）如图①，连接OA，AC，则∠OAC的度数为°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)．当d<2时，求t的取值范围．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）【答案】（1）105；（2（3t【解析】试题分析：（1）⊙O与l1，l2都相切，连接圆心和两个切点，等正方向.OA即为正方形的对角线，得到∠OAD=450，再在Rt△ADC中，由锐角三角函数求∠DAC=600，从而求得∠OAC的度数1050.（2）连接O1与切点E，则O1E=2，O1E⊥l1，利用△O1EA1∽△D1C1E1,求A12+O1O+A1E=AA1，可求t，进而求得圆心移动的距离（3）圆心O到对角线AC的距离d＜2，即d＜r.说明⊙O与AC相交，所以出找两个临界点的t值，即⊙O与AC相切．运动中存在两个相切的位置.分别求两个相切时t的值，即可得出d＜r时，t的取值试题解析：解：（1）1050.（2）O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O与AC的切点为E，连接O1E，如答图1，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，D1C∴tan ∠C 1A 1D 1C 1A 1D 1=600．在Rt △A 1O 1E 中, ∠O 1A 1E=∠C 1A 1D 1∵111A E AA OO 2t 2=--=-，∴∴OO 1（3）如答图2，①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1.如位置一，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置.设⊙O 2与直线l 1、A 2C 2分别相切于点F 、G, 连接O 2 F 、O 2 G 、O 2 A 2， ∴O 2 F ⊥l 1、O 2 G ⊥A 2C 2.又由（2）可得∠C 2A 2D 2=600于，∴∠GA 2F=1200．∴∠O 2A 2F=600.在Rt △O 2A 2F∵OO 2=3t 1， ②当点O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时为位置二，设移动时间为t 2.由（2）可得③当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 3．如位置3，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等.∴2132t t t t -=-，即综上所述，当d<2时，t t 考点：1.双面动平移问题；2.直线与圆的位置关系；3.锐角三角函数定义；4．特殊角的三角函数值； 5.分类思想的应用.15．在平面直角坐标系xOy 中，点M ，以点M 为圆心，OM 长为半径作⊙M ，使⊙M 与直线OM 的另一交点为点B ，与x 轴，y 轴的另一交点分别为点D ，A （如图），连接AM.点P 是»AB上的动点. （1）写出∠AMB 的度数；（2）点Q 在射线OP 上，且OP·OQ=20，过点Q 作QC 垂直于直线OM ，垂足为C ，直线QC 交x 轴于点E.①当动点P 与点B 重合时，求点E 的坐标；②连接QD ，设点Q 的纵坐标为t ，△QOD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式及S 的取值范围.【答案】（1）90°；（2）①（0）；② 【解析】试题分析：（1）首先过点M 作MH ⊥OD 于点H ，由点M ，可得∠MOH=45°，OM=AM ，可得△AOM 是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数：如答图3，过点M作MH⊥OD于点H，∵点M，∴∴∠MOD=45°.∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°.∵OA=OM，∴∠OAM=∠AOM=45°.∴∠AMO=90°.∴∠AMB=90°.（2）①由MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP?OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案.②由Q的纵坐标为t，即可得P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．试题解析：解：（1）90°.（2）①由题意，易知：OM=2，OB=4.当动点P与点B重合时，∵OP·OQ=20，∴OQ=5.∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴∴E点坐标为（0）.②∵Q的纵坐标为t，∴如答图1，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，∵OP=4，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴此时如答图2，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，∴∵OP?OQ=20，∴此时∴S的取值范围为5≤S≤10．考点：1.圆的综合题；2.单动点问题；3.等腰直角三角形的判定和性质；4.点的坐标；5.由实际问题列函数关系式；6.数形结合思想、分类思想和方程思想的应用．16．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，过动点H（0, m）作平行于x轴的直线，直D，E.（1）写出点A,点B 的坐标；（2）若m >0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（4，0）和（－1，0）；（2（3）存在，m=2-或4-或3或1-.【解析】试题分析：（1）A 、B 两点的纵坐标都为0，所以代入y=0，求解即可．（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q 位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q 的横坐标D 、ED 、E 都在抛物线上，代入一点即可得m ．（3）使得△ACF 是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F 点在AC 的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m 的值．试题解析：解：（1）当y=0，解之得：12x 4,x 1==- ，∴A 、B 两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）.（2）∵⊙Q 与x 轴相切，且与D 、E 两点，∴圆心O 位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q 的半径为H 点的纵坐标m （m 0>）.∴D 、E 两点的坐标分别为：且均在二次函数.舍去）.（3）存在.①当∠ACF=90°，AC=FC 时，如答图1，过点F 作FG ⊥y 轴于G ，∴∠AOC=∠CGF=90°.∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG. ∴△ACO ≌△∠CFG ，∴CG=AO=4. ∵CO=2，∴()m OG 422=-=--=-或m =OG=2+4=6. ②当∠CAF=90°，AC=AF 时，如答图2，过点F 作FP ⊥x 轴于P ，∴∠AOC=∠APF=90°.∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP. ∴△ACO ≌△∠FAP ，∴FP =AO=4. ∴m FP 4=-=-或m =FP =4.③当∠AFC=90°，FA=FC 时，如答图3，则F 点一定在AC 的中垂线上，此时存在两个点分别记为F ，F′， 分别过F ，F′两点作x 轴、y 轴的垂线，分别交于E ，G ，D ，H ． ∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA. ∵∠CDF=∠AEF ，CF=AF ，∴△CDF ≌△AEF. ∴CD=AE ，DF=EF.∴四边形OEFD 为正方形. ∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD. ∴4=2+2?CD.∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A.∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′.∴△HF′C≌△GF′A.∴HF′=GF′，CH=AG. ∴四边形OHF′G 为正方形.∴OH CH CO AG CO AO OG CO AO OHCO 4OH 2=-=-=--=--=--.∴OH=1. ∴m=1-．y∵直线l 与抛物线有两个交点，∴m m 可取值为m=2-或4-或3或1-.综上所述，m 的值为m=2-或4-或3或1-.考点：1.二次函数综合题； 2.单动点问题；3.等腰直角三角形存在性问题；4.二次函数的性质；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.直线与圆的位置关系；7.全等三角形的判定和性质；8.正方形的判定和性质；9.分类思想的应用．17．如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连结AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE=13，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； (2)求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．【答案】（1）y=－x 2＋2x ＋3．B(1，4)．（2）证明见解析；（3）P 1(0，0)，P 2(9，0)，P 3(0，－13)．（4）s=22333 0),221933 (3).222t t t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩≤≤(.【解析】试题分析：(1)利用两根式列出二次函数解析式y=a(x －3)(x ＋1)，把将E(0，3)代入即可求出a 的值，继而可求顶点B 的坐标；（2）过点B 作BM ⊥y 于点M ，利用已知条件先证明AB 是△ABE 外接圆的直径．再证CB ⊥AB 即可．（3）存在；（4）分两种情况进行讨论即可.试题解析：(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x－3)(x＋1)．将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．∴y=－x2＋2x＋3．则点B(1，4)．(2)如图，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，．在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，．∴∠BEA=180°－∠1－∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE=13=tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，∴∠CBE＋∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线．(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－13 )．(4)解：设直线AB的解析式为y=kx＋b．将A(3，0)，B(1，4)代入，得30,4.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得2,6.kb=-⎧⎨=⎩∴y=－2x＋6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=32，∴F(32，3)．情况一：如图7，当0＜t≤32时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHD∽△FHM，得AD HKFM HL=．即332t HKHKt=--．解得HK=2t．∴S阴=S△MND－S△GNA－S△HAD=12×3×3－12(3－t)2－12t·2t=－32t2＋3t．情况二：如图8，当32＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得AQ IQFP IP=．即3332IQtIQt-=--．解得IQ=2(3－t)．∴S 阴=S △IQA －S △VQA=12×(3－t)×2(3－t)－12(3－t)2=12(3－t)2=12t2－3t ＋92． 综上所述：s=22333 0),221933 (3).222t t t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩≤≤(.考点：二次函数综合题.18．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）116）两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A （0，2）．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交； （3）设⊙P 与x 轴相交于M （x 1，0），N （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标． 【答案】（1）a=14，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P 的纵坐标为0或或4﹣【解析】 试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a ，b ，c 的值即可；（2）设P （x ，y ），表示出⊙P 的半径r ，进而与14x 2比较得出答案即可； （3）分别表示出AM ，AN 的长，进而分别利用当AM=AN 时，当AM=MN 时，当AN=MN 时，求出a 的值，进而得出圆心P 的纵坐标即可． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的对称轴为y 轴，且经过（0，0116）两点， ∴抛物线的一般式为：y=ax 2，∴116=a2， 解得：a=±14，∵图象开口向上，∴a=14， ∴抛物线解析式为：y=14x 2，故a=14，b=c=0；（2）设P （x ，y ），⊙P 的半径，又∵y=14x 2，则化简得：＞14x 2， ∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设P （a ，14a 2），∵作PH ⊥MN 于H ，则 又∵PH=14a 2，则=2， 故MN=4，∴M （a ﹣2，0），N （a+2，0），又∵A （0，2），∴，，当AM=AN ， 解得：a=0，当AM=MN =4，解得：（负数舍去），则14a 2当AN=MN =4，解得：a=﹣（负数舍去），则14a 2=4﹣综上所述，P 的纵坐标为0或4﹣．考点：二次函数综合题．19．木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O 1，O 2分别在CD ，AB 上，半径分别是O 1C ，O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼接到矩形AEFD 下面，并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。