普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综合问题一.课标要求：1 •由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2•通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3.了解圆锥曲线的简单应用。
二.命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1.求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2•与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测07年高考：1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2•可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。
.要点精讲1.曲线方程(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”(2)求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。
这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。
即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。
如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2 •圆锥曲线综合问题(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。
这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。
解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C： f(x, y)=0与直线I ：y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，则弦长| AB|为：(1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至］一葢jL + k? * J(签i+窿］)】_4耳］嘉或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙.若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|.在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。
(2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
(3)实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系(4)知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。
四.典例解析题型1 :求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
9X 22(2)双曲线y 1有动点P , F I ,F 2是曲线的两个焦点，求 PF 1F 2的重心M 的9轨迹方程。
设动圆圆心为 M(x, y)，半径为R ，设已知圆的圆心分别为 01、02，将圆方程分别配方得：(x 3)2 y 2 4，(x 3)2 y 2 100， 当e M 与e 01相切时，有| 0川| R 2 ① 当e M 与eO 2相切时，有|02M| 10 R ②将①②两式的两边分别相加，得 |01M | ©IM |12，即 (x 3)2 y 2 (x 3)2 y 2 12 ③ 移项再两边分别平方得：2 (x 3)2 y 212 x④两边再平方得：3x 2 4y 2 108 0, 2 2整理得—1，36 27M (x,y)到点0, 3,0)和02(3,0)的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为 01( 3,0)、02(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标 原点，焦点在x 轴上，••• 2c 6, 2a 12，二 c 3, a 6,二 b 2 36 927 ,即所求重心 M 的轨迹方程为：x 2 9y 2 1(y 0)。
所以，动圆圆心的轨迹方程是 36 271，轨迹是椭圆。
(法二)由解法一可得方程,(x 3)2 y 2 (x 3)2 y 2 12，解析：(1)(法一)由以上方程知，动圆圆心•••圆心轨迹方程为36 27(2)如图,设P,M 点坐标各为P(x 1, y 1), M (x, y)，•在已知双曲线方程中 • c .厂 10a 3,b1 ,•已知双曲线两焦点为 F 1(..祜,0), F 2c ，i0,o ),PF | F 2 存在，• y 0x由三角形重心坐标公式有y •••力 0 ,••• y 0。
& (五)3，即% 0 0 3x 1 3x y 1 3y已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有(3x)2(3y)21(y 0)0P 的中点，则点 M 的轨迹方程是 ____________解析：(1)答案：x 2— 4y 2= 1 设 P (x o , y o ) M (x , y )点评：利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。
题型2:圆锥曲线中最值和范围问题2y21(a b o)中心的弦，椭圆的左焦点为bF 1 ( c , o)，则△ F 1AB 的面积最大为()1的面积最大值为 一Cb 。
所以△ F 1AB 的面积最大值为 cb 。
2大值为()A. 1oB. 1o5C . 1o5 D. 1o 2.5解析： (1)如图, 由椭圆对称性知道0为AB 的中点，则△ F 1OB 的面积F 1AB 面y B ，而y B 的最大值是b ,所以△ FQB积的一半。
又〔OF 』e , △ F 1OB 边OF 1上的高为 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤; “转移法”求轨迹方程的方法。
例2 . (2001上海，3)设P 为双曲线y 2= 1上一动点，0为坐标原点，M 为线段x o2y o 2.2x = x o , 2y = y o空—4y 2= 14x 2— 4y 2= 1例3 . ( 1 )设AB 是过椭圆A. beB. abC. aeD. b(2)已知双曲线2x ~~2 a2与 1(a o , b o)的左右焦点分别为F 1, F 2,点P 在双曲b线的右支上，且 IPF 1I 4|PF 2|，则此双曲线的离心率的最大值是(4 A.3B. 53C. 27 D.- 2 (3)已知 2)、B (—4, o ), P 是椭圆2x252y1上一点，贝U |PA|+ |PB|的最点评：抓住△ F I AB 中|OF i | c 为定值，以及椭圆是中心对称图形。
(2)解析：由双曲线的定义， 得: IPF i l IPF 2I 2a ，又 |PF I | 4|PF 2|，所以 3| PF 21 2a ，从而 IPF 2I点为F (4, 0)。
连PB , PF 。
由椭圆的定义知:|PB| |PF| 10,所以 |PB| 10 |PF|，所以 |PA| |PB| |PA| 10 |PF| 10 (|PA||PF|)。
由平面几何知识，||PA| |PF|| |AF|，即(| PA| |PB|)min 10 |AF|,而 |AF| ...(3 4)2 (2 0)25,所以(|PA| |PB|)min105。
由双曲线的第二定义可得|PF 2| 2 a x cc a5a 2口 5a 2 c 5所以x。
又x a ,即 -a ，从而e 一 。
故选B o3c3ca 35a 23c的条件。
利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出 e 的取值范围。
(3)解析：易知A (3，2)在椭圆内，B (- 4, 0)是椭圆的左焦点(如图)a 成立 则右焦点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系2点评：由厶PAF 成立的条件||PA| |PF|| |AF|，再延伸到特殊情形 P 、A 、F 共线，从 而得出||PA| |PF|| |AF|这一关键结论。
2x例4. (1) ( 06全国1文，21 )设P 是椭圆二a圆上的一个动点，求 PQ 的最大值。
左焦点为F( '3o ),右顶点为D(2,o ),设点A 1,1 .2① 求该椭圆的标准方程；② 若P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点M 的轨迹 方程；③过原点0的直线交椭圆于点 B,C ，求 ABC 面积的最大值。
(3) (06山东文，21)已知椭圆的中心在坐标原点 0,焦点在x 轴上，椭圆的短轴端 点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为I 。
(I )求椭圆的方程；(n )直线I 过点P(0,2)且与椭圆相交于 A 、B 两点，当△ AOB 面积取得最大值时，求直 线I 的方程。
解析：(1)依题意可设P(0,1), Q(x,y),贝U |PQ|= x 2+(y — 1)2，又因为Q 在椭圆上， |PQ p = a 2(1 — y 2)+y 2— 2y+1=(1 — a 2)y 2— 2y+1+a 2,=(1- a2)(y- 1 — a2)2—1 — a 2+1+a 2。
若1<a< 2,则当y= — 1时，|PQ|取最大值2。
②设线段PA 的中点为M(x,y)，点P 的坐标是(X 0,y °),厂x o =2x — 1y 2 1 a 1短轴的一个端点,Q 为椭(2) (06上海文，21)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点,1因为|y|< 1,a >1，若a >2,则］匚可1, 1a 2 a 2 — 1 当y=y 时，|PQ|取最大值右-所以，x 2=a 2(1 — y 2), (2)①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= , 3 ,则半短轴b=1 ,又椭圆的焦点在x 轴上，•••椭圆的标准方程为1。