19,20,21,23题题组训练(二)
(时间：35分钟 分值：37分 得分：__________)
19．(8分)如图，一次函数y ＝kx ＋2的图象与反比例函数y ＝a
x 的图象交于A ，B 两点，
其中点A 的坐标为(2,3)．
(1)求两个函数的表达式；
(2)点P 是y 轴上的一个动点，当∠APB 为直角时，求点P 的坐标．
20．(8分)在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)请写出甲的骑行速度为________米/分，点M的坐标为__________；
(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式；(不需要写出自变量的取值范围)
(3)请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
21．(9分)如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DE ＝3，BE平分∠ABD，BE与AD交于点F.
(1)求证：BP是⊙O的切线；
(2)若tan∠DBE＝
2
3，求EF的长；
(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求⊙O的半径．
23．(12分)如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于两点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
(1)①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB的长；
②抛物线y＝x2＋1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是__________；
(2)若抛物线y＝ax2＋4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
(3)若抛物线y＝mx2＋2x＋n－5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2＋2x＋n－5的最大值为－1，求m，n的值．
图1
图2
备用图
参考答案
19．解：(1)∵A (2,3)为一次函数与反比例函数图象的交点，
∴将A (2,3)代入y ＝kx ＋2，得3＝2k ＋2.解得k ＝1
2.
将A (2,3)代入y ＝a x ，得3＝a
2
.解得a ＝6.
∴一次函数的表达式为y ＝12x ＋2，反比例函数的表达式为y ＝6
x .
(2)如图1，过点A 作AM ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N . ∴M (0,3)，N (0，－1)．设P ((0，n )．
联立⎩⎨⎧
y ＝1
2x ＋2，
y ＝6
x .
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－6，
y ＝－1.
∴B (－6，－1)．
图1
∴AM ＝2，BN ＝6，PM ＝|n －3|，PN ＝|n ＋1|. ∵∠APB 为直角，AM ⊥PM ， ∴∠BPN ＋∠APM ＝∠APM ＋∠P AM . ∴∠BPN ＝∠P AM .
∵∠PNB ＝∠AMP ＝90°，∴△PBN ∽△APM . ∴
AM PN ＝PM BN ，即2
|n ＋1|
＝|n －3|6. 解得n ＝5或n ＝－3. ∴P (0,5)或(0，－3)． 20．解：(1)240，(6,1 200)．
(2)设MN 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．
∵y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过点M (6,1 200)，N (11,0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6k ＋b ＝1 200，11k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－240，b ＝2 640.
∴直线MN 的解析式为y ＝－240x ＋2 640.
即甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式为y ＝－240x ＋2 640. (3)4分钟或6分钟或8分钟．
21．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∴∠DAB ＋∠ABD ＝90°.
∵∠BED ＝∠DAB ，∠PBD ＝∠BED ，∴∠DAB ＝∠PBD . ∴∠PBD ＋∠ABD ＝90°. ∴∠ABP ＝90°. ∴AB ⊥BP .
∴BP 是⊙O 的切线．
(2)解：如图2，连接AE ，则∠AEB ＝90°.
图2
∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠DBE . ∴AE ︵ ＝DE ︵
.∴AE ＝DE ＝ 3. ∵∠DBE ＝∠DAE ， ∴tan ∠DBE ＝tan ∠DAE ＝
23
. ∴在Rt △AEF 中，tan ∠F AE ＝EF AE ＝23.∴EF 3＝23.∴EF ＝6
3.
(3)解：如图2，连接OE . ∵OE ＝OB ，∴∠ABE ＝∠OEB .
∵∠ABE ＝∠DBE ，∴∠DBE ＝∠OEB .∴OE ∥BD .∴CE DE ＝OC
OB
. 设CA ＝AO ＝OB ＝R .∴CE DE ＝21，即 CE
3＝2.
∴CE ＝2 3.∴DC ＝3 3.
∵∠ADC ＝∠EBC ，∠C ＝∠C ，∴△CAD ∽△CEB . ∴
CD CB ＝CA CE ，即 333R ＝R
23
.∴R ＝ 6. ∴⊙O 的半径为 6.
23．解：(1)①如图3，过点B 作BN ⊥x 轴于点N .
图3
∵△AMB 为等腰直角三角形，∴∠ABM ＝45°. ∵AB ∥x 轴，∴∠BMN ＝∠ABM ＝45°.
∴∠MBN ＝90°－45°＝45°.∴∠BMN ＝∠MBN .∴MN ＝BN . 设点B 的坐标为(k ，k )．
将B (k ，k )代入抛物线y ＝x 2，得k ＝k 2.
∴k 1＝1，k 2＝0(舍去)．∴B (1,1)．∴MN ＝BN ＝1. ∴MB ＝12＋12＝ 2.∴MA ＝MB ＝ 2. 在Rt △AMB 中，AB ＝MB 2＋MA 2＝2，
∴抛物线y ＝x 2的“完美三角形”的斜边AB 的长为2； ②相等．
(2)∵抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝ax 2＋4的形状相同， ∴抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝ax 2＋4的“完美三角形”全等． ∵抛物线y ＝ax 2＋4的“完美三角形”斜边的长为4， ∴抛物线y ＝ax 2的“完美三角形”斜边的长为4. ∴B 点坐标为(2,2)或(2，－2)． 把点B 的坐标代入y ＝ax 2，得a ＝±12.
(3)∵y ＝mx 2＋2x ＋n －5的最大值为－1， ∴
4m (n －5)－4
4m
＝－1，m ＜0.∴mn －4m －1＝0.∴mn ＝4m ＋1.
∵抛物线y ＝mx 2＋2x ＋n －5的“完美三角形”斜边长为n ， ∴抛物线y ＝mx 2的“完美三角形”斜边长为n . ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫n 2
，－n 2.
将点B ⎝⎛⎭⎫n 2，－n 2代入抛物线y ＝mx 2，得m ·⎝⎛⎭⎫n 22＝－n 2. ∴mn ＝－2或n ＝0(舍去)．∴4m ＋1＝－2.∴ m ＝－3
4.
∴n ＝83
.。