当前位置:文档之家› (完整版)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(五)

(完整版)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(五)

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(五)46.已知函数4)(2--=ax x x f (a ∈R)的两个零点为12,,x x 设12x x < .(Ⅰ)当0a >时,证明:120x -<<.(Ⅱ)若函数|)(|)(2x f x x g -=在区间)2,(--∞和),2(+∞上均单调递增,求a 的取值范围.47.设函数2()ln f x x ax x =-++(R ∈a ). (Ⅰ)若1a =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)设函数()f x 在],1[e e 有两个零点,求实数a 的取值范围.48.已知函数()ln()f x ax b x =+-,2()ln g x x ax x =-- .(Ⅰ)若1b =, ()()()F x f x g x =+,问:是否存在这样的负实数,使得()F x 在1x =处存在切线且该切线与直线1123y x =-+平行,若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由 .(Ⅱ)已知0a ≠,若在定义域内恒有()ln()0f x ax b x =+-≤,求()a a b +的最大值 .49.设函数2)21(ln )(-+=x b x x x f )(R b ∈,曲线()y f x =在()1,0处的切线与直线3y x =平行.证明:(Ⅰ)函数)(x f 在),1[+∞上单调递增; (Ⅱ)当01x <<时,()1f x <.50.已知f (x )=a (x -ln x )+212xx -,a ∈R . (I )讨论f (x )的单调性;(II )当a =1时,证明f (x )>f ’(x )+23对于任意的x ∈[1,2]恒成立。

51.已知函数f (x )=x 2+ax ﹣ln x ,a ∈R .(1)若函数f (x )在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围;(2)令g (x )=f (x )﹣x 2,是否存在实数a ,当x ∈(0,e ](e 是自然常数)时,函数g (x )的最小值是3,若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由; (3)当x ∈(0,e ]时,证明:e 2x 2-25x >(x +1)ln x .52.已知函数f (x )=31x 3-ax +1.(1)若x =1时,f (x )取得极值,求a 的值; (2)求f (x )在[0,1]上的最小值;(3)若对任意m ∈R ,直线y =﹣x +m 都不是曲线y =f (x )的切线,求a 的取值范围.53.已知函数()xf x axe =(0a ≠) (1)讨论()f x 的单调性;(2)若关于x 的不等式()ln 4f x x x <+-的解集中有且只有两个整数,求实数a 的取值范围.54.已知函数()()11,1n x n m x f x g x m mx x +-==--(其中,,m e n me ≥为正整数,e 为自然对数的底)(1)证明:当1x >时,()0m g x >恒成立;(2)当3n m >≥时,试比较()n f m 与()m f n 的大小,并证明.55.已知函数f (x )=e x 和函数g (x )=kx +m (k 、m 为实数,e 为自然对数的底数,e ≈2.71828).(1)求函数h (x )=f (x )﹣g (x )的单调区间;(2)当k =2,m =1时,判断方程f (x )=g (x )的实数根的个数并证明;(3)已知m ≠1,不等式(m ﹣1)[f (x )﹣g (x )]≤0对任意实数x 恒成立,求km 的最大值.56.已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈. (Ⅰ)若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 的单调区间; (Ⅲ)求证:不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立.57.已知函数2()(1)ln f x x a x =-+(a R ∈).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 存在两个极值点()1212x x x x <、,求21()f x x 的取值范围.58.设函数R m xmx x f ∈+=,ln )(. (Ⅰ)当e m =(e 为自然对数的底数)时,求)(x f 的极小值; (Ⅱ)若对任意正实数a 、b (a b ≠),不等式()()2f a f b a b-≤-恒成立,求m 的取值范围.59.已知函数()b x a ax x x f +-+-=2233231, ),(R b a ∈ (1)当3=a 时, 若()x f 有3个零点, 求b 的取值范围;(2)对任意]1,54[∈a , 当[]m a a x ++∈,1时恒有()a x f a ≤'≤-, 求m 的最大值, 并求此时()x f 的最大值。

60.已知函数()()2x f x x ax a e =--. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()0,2a ∈,对于任意[]12,4,0x x ∈-,都有()()2124a f x f x e me --<+恒成立,求m 的取值范围.61.已知函数f (x )=x -xb,g (x )=x a ln 2. (1)若0=b ,函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像相切,求a 的值;(2)若0>a ,1-=b ,函数)()()(x g x xf x F +=满足对任意12,(0,1]x x ∈(x 1x 2),都有2121113)()(x x x F x F -<-恒成立,求a 的取值范围; (3)若1=b ,函数)(x G =f (x )+ g (x ),且G(x )有两个极值点x 1,x 2,其中x 1⎥⎦⎤ ⎝⎛∈310,,求)()(21x G x G -的最小值.62.已知函数2()ln()(0)f x x a a =+>.(1)若3a =,求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)令32()()3g x f x x =-,判断()g x 在(0,)+∞上极值点的个数,并加以证明;(3) 令()()2f x h x x'=,定义数列11{}:0,()n n n x x x h x +==. 当3a =且1(0,](2,3,4,)2k x k ∈=L 时,求证:对于任意的*m N ∈,恒有11||89m k k k x x +--<⋅.63.已知二次函数2()1f x x ax m =+++,关于x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +,(0)m ≠,设()()1f x g x x =-.(1)求a 的值.(2)()k k ∈R 如何取值时,函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值点,并求出极值点. (3)若1m =,且0x >,求证:[(1)](1)22(*)n n n g x g x x +-+-∈N ≥.64.已知函数()ln f x x =,()()2g x a e x b =-+(其中e 为自然对数的底数,()f x ). (1)若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象相切于1x e=处,求,a b 的值; (2)当2b e a =-时,若不等式()()f x g x ≤恒成立,求a 的最小值.65.已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ,. ⑴当1a =时,求函数()()()h x f x g x =-的极值;⑵若存在与函数()f x ,()g x 的图象都相切的直线,求实数a 的取值范围.66.设函数()(1)ln(1)f x mx x =-+.(1)若当01x <<时, 函数()f x 的图象恒在直线y x =的上方, 求实数m 的取值范围; (2)求证: 1000.41001()1000e >.67.已知函数ln ()()a xf x a R x +=∈.(1)若4a =,求曲线()f x 在点(1,4)处的切线方程;(2)若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间2(0,]e 上有公共点,求实数a 的取值范围.68.已知函数()()R a a xax nx x f ∈+++=112. (Ⅰ)若0>a ,证明:函数()x f 在[)∞+,e 上单调递减;(Ⅱ)是否存在实数a ,使得函数()x f 在()80,内存在两个极值点?若存在,求实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (参考数据:693.021≈n ,5.423≈e )参考答案46.解: (Ⅰ)证法1:由求根公式得:1x =因为0a >,所以,一方面:1022a a x -=<=,…………………4分另一方面,由1(4)2022a x ++==> ,得1 2.x >- 于是,120.x -<< …………………………7分 证法2:因为()f x 在区间(,)2a -∞ 上单调递减,在(,)2a +∞ 上单调递增, 所以,当0a > 时,()f x 在区间(-2,0)上单调递减.………………………4分 又因为:(2)(0)2(4)0f f a -⋅=⋅-<,所以:120x -<<.…………………………7分(Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<+=.,4;,42;,4)(22121x x ax x x x ax x x x ax x g …………………………9分若,0≤a 则)-)(1x x g ,在(∞上单调递减,从而)(x g 在区间)2,(--∞上不可能单调递增,于是只有0>a . …………………………11分当 0>a 时,由(1)知:021<<-x ,于是,由)(x g 在),(1x -∞上单调递增可知,)(x g 在)2,(--∞也是单调递增的. …………………………13分又因为)(x g 在),4(2x a和),(2+∞x 均单调递增,结合函数图象可知,),4()(+∞a x g 在上单调递增,于是,欲使)(x g 在(2,+∞)上单调递增,只需42a≥,亦即8≤a . 综上所述,]8,0(∈a a 的范围是. …………………………15分47.(Ⅰ)定义域),0(+∞∈x2121()210x x f x x x x-++'=-++=>即2210x x --<即01x << ∴)(x f 的增区间为(0,1),减区间为(1,)+∞(Ⅱ)0ln )(2=++-=x ax x x f 即xxx a ln -= 令x x x x g ln )(-=,其中],1[e ex ∈ 01ln ln 11)(222>-+=-⋅-='xx x x xx x x g 即1>x ∴)(x g 的减区间为)1,1[e ,增区间为],1(e∴1)1()(min ==g x g又e e e g 1)1(+=,e e e g 1)(-=函数)(x f 在],1[e e 有两个零点,则a 的取值范围是1(1,]e e-48.(I )由题意,()F x 定义域1(0,)a-………………………….2分 不妨假设存在,则21()ln(1)ln ,(0,)F x ax x x ax x x a=+-+--∈- 当1(0,)x a∈-时,22x ax x ax -=-22()ln(1)ln ln(1)ln ,F x ax x x ax x ax x ax x x ∴=+-+--=+---+….3分'1()121a F x a x ax x∴=---++ '11(1)121,1122a a a a a ∴=-+--=-=-=+令F 则或(舍)…………………………5分 当12a =-时,1(0,)(0,2),1(0,2)x a-==∈ ∴存在,12a =-………………………….6分(II )(方法一)()ln()0f x ax b x =+-≤① 当 0a <时,定义域()ba-∞-,,则当x →-∞时,()f x →+∞,不符;….7分② 当0a >时,'()()1a ba x aa f x ax bax b---=-=++(0ax b +>) 当b a b x a a --<<时,'()0f x >;当a b x a->时,'()0f x < ∴ ()f x 在区间()b a b a a --,上为增函数,在区间()a ba-+∞,上为减函数 ∴ ()f x 在其定义域()b a -+∞,上有最大值,最大值为()a bf a- 由()0f x ≤,得()ln 0a b a b f a a a--=-≤ ∴ ln b a a a ≤-∴ 22()2ln a a b a a a +≤- …………………………..………….12分 设22()2ln h a a a a =-,则()4(2ln )(32ln )h a a a a a a a '=-+=-。

相关主题