椭圆一、选择题1．(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x 轴上，故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝4，a2c＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a 2＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝4，故所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1.2．(2011·高考浙江卷)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：选C.由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ， 解得a 2＝112，b 2＝12.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，22] B ．(0，12]C ．[2－1,1)D ．[12，1)解析：选D.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝a －ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上，∴a －ex 0＝a 2c－c ，因此x 0＝a ac －a 2＋c 2c 2.又－a ≤x 0<a ，∴－a ≤a ac －a 2＋c 2c 2<a .∴－1≤e 2＋e －1e 2<1.又0<e <1，∴12≤e <1.4．已知椭圆x 24＋y 23＝1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B的动点P ，若直线PA 的斜率k PA ＝12，则直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32 C ．－34 D ．－32解析：选D.设点P (x 1，y 1)(x 1≠±2)，则k PA ＝y 1x 1＋2，k PB ＝y 1x 1－2， ∵k PA ·k PB ＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝31－x 214x 21－4＝－34，∴k PB ＝－34k PA ＝－34×2＝－32，故应选D.5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，以其左焦点F 1(－c,0)为圆心，以a －c 为半径作圆，过上顶点B 2(0，b )作圆F 1的两条切线，设切点分别为M ，N .若过两个切点M ，N 的直线恰好经过下顶点B 1(0，－b )，则椭圆E 的离心率为( )A.2－1B.3－1C.5－2D.7－3解析：选B.由题意得，圆F 1: (x ＋c )2＋y 2＝(a －c )2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则切线B 2M ：(x 1＋c )(x ＋c )＋y 1y ＝(a －c )2，切线B 2N ：(x 2＋c )(x ＋c )＋y 2y ＝(a －c )2. 又两条切线都过点B 2(0，b )，所以c (x 1＋c )＋y 1b ＝(a －c )2，c (x 2＋c )＋y 2b ＝(a －c )2.所以直线c (x ＋c )＋yb ＝(a －c )2就是过点M 、N 的直线．又直线MN 过点B 1(0，－b )，代入化简得c 2－b 2＝(a －c )2， 所以e ＝3－1. 二、填空题6．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．(2011·高考江西卷)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A(1,0)．切点B(m ，n)满足⎩⎪⎨⎪⎧n－12m－1＝－mnm2＋n2＝1，解得B⎝⎛⎭⎪⎫35，45.∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为x25＋y24＝1.答案：x25＋y24＝18．(2012·高考四川卷)椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a>5)的左焦点为F，直线x＝m 与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为x29＋y25＝1，所以c＝2，所以e＝ca＝23.答案：23三、解答题9．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2 3.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果AF2→＝2F2B→，求椭圆C的方程．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c＝23，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝3(x－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x－2x2a2＋y2b2＝1，得(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b4＝0.解得y1＝－3b22＋2a3a2＋b2，y2＝－3b22－2a3a2＋b2.因为AF2→＝2F2B→，所以－y1＝2y2.即3b22＋2a3a2＋b2＝2·－3b22－2a3a2＋b2，得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝ 5.故椭圆C的方程为x29＋y25＝1.10．(2011·高考辽宁卷)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e＝12，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：x2a2＋y2b2＝1，C2：b2y2a4＋x2a2＝1(a>b>0)．设直线l：x＝t(|t|<a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A⎝⎛⎭⎪⎫t，aba2－t2，B⎝⎛⎭⎪⎫t，baa2－t2.当e＝12时，b＝32a，分别用y A，y B表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝2|y B|2|y A|＝b2a2＝34.(2)当t＝0时的l不符合题意，当t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，即baa2－t2t＝aba2－t2t－a，解得t＝－ab2a2－b2＝－1－e2e2·a.因为|t|<a，又0<e<1，所以1－e2e2<1，解得22<e<1.所以当0<e≤22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当22<e<1时，存在直线l，使得BO∥AN.11．(探究选做)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝53.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x－7y＋1＝0上，求直线AC的方程．解：(1)设M (x 1，y 1)，∵F 2(1,0)，|MF 2|＝53.由抛物线定义，x 1＋1＝53，∴x 1＝23，∵y 21＝4x 1，∴y 1＝263.∴M (23，263)，∵M 在C 1上，∴49a 2＋83b2＝1，又b 2＝a 2－1，∴9a 4－37a 2＋4＝0，∴a 2＝4或a 2＝19<c 2舍去．∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m x 24＋y23＝1⇒7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，∵A 、C 在椭圆C 1上，∴Δ>0，∴m 2<7，∴－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m7.y 1＋y 2＝(－x 1＋m )＋(－x 2＋m )＝－(x 1＋x 2)＋2m＝－8m 7＋2m ＝6m 7.∴AC 的中点坐标为(4m 7，3m 7)，由ABCD 为菱形可知，点(4m 7，3m7)在直线BD ：7x －7y ＋1＝0上，∴7·4m 7－7·3m7＋1＝0，m ＝－1.∵m ＝－1∈(－7，7)，∴直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.双曲线一、选择题1．(2011·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴9a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±322，解得a ＝±2.由题意知a >0，∴a ＝2. 2．(2011·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．25C ．4 3D ．45 解析：选B.双曲线左顶点为A 1(－a,0)，渐近线为y ＝±b ax ，抛物线y 2＝2px (p >0)焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线为直线x ＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p ＝4，由题意知2＋a ＝4，∴a ＝2.∴双曲线渐近线y ＝±b 2x 中与准线x ＝－p 2交于(－2，－1)的渐近线为y ＝b 2x ，∴－1＝b2×(－2)，∴b ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，∴2c ＝2 5.3．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(22，1) D ．(2，＋∞)解析：选B.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c，y ＝－ba x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c . 同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c，－ab c .又左焦点F (－c,0)，∴FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c ，ab c ，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2c ，－ab c .∵点F 在以AB 为直径的圆内，∴FA →·FB →<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c 2<0，∴b 4<a 2b 2，∴b 2<a 2，即c 2－a 2<a 2，∴c 2<2a 2，即e 2<2，∴e < 2.又∵e >1，∴1<e < 2.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c，y ＝－ba x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c .同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c，－ab c .∵点F (－c,0)在以AB 为直径的圆内，∴左焦点F 到圆心的距离小于半径长，即c －a 2c <abc，∴a >b .∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋b 2a2< 2.又∵e >1，∴1<e < 2.4．(2012·高考大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4， ∴a ＝2，c ＝2.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.5．(2011·高考山东卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3ba 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.二、填空题6．(2011·高考四川卷)双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是__________．解析：由x 264－y 236＝1可知a ＝8，b ＝6，则c ＝10，设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，由|PF 2|＝4及双曲线的第一定义得|PF 1|＝16＋4＝20.设点P 到左准线的距离为d ，由双曲线的第二定义有20d ＝108，即d ＝16.答案：167．(2012·高考重庆卷)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.解析：∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去y 得x ＝32a4，又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝324.答案：3248．已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.解析：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴b a ＝2，∴b 2a2＝4.∵a 2＝1，∴b 2＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.答案：2 三、解答题9．由双曲线x29－y24＝1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .解：由双曲线方程知a ＝3，b ＝2，c ＝13.当点P 在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a .由于|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .① |NF 1|＋|NF 2|＝2c .②由①②得|NF 1|＝2a ＋2c2＝a ＋c ，∴|ON |＝|NF 1|－|OF 1|＝a ＋c －c ＝a ＝3. 故切点N 的坐标为(3,0)．根据对称性，当P 在双曲线左支上时，切点N 的坐标为(－3,0)．10．(2012·高考四川卷)如图，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． 解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m 4x 2－y 2－4＝0，消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，则x Q ，x R 为方程(*)的两根． 因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝2 1＋3m 2＋12 1＋3m2－1＝1＋221＋3m2－1.此时1＋3m2>1，且1＋3m2≠2，所以1<1＋22 1＋3m2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q <3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3. 11．(探究选做)已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为C 上的任意一点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值．解：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线C 上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0， 点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是 |x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5， ∴|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝|x 21－4y 21|5＝45.故点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设点P 的坐标为(x ，y )(|x |≥2)，则|PA |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54(x －125)2＋45， ∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|PA |2取到最小值45，即|PA |的最小值为255.抛物线一、选择题1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.2．(2012·高考四川卷)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．23C ．4D ．25解析：选B.由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22，∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.3．(2013·四川成都模拟)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为( )A ．5B ．8C ．10D ．12 解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4，又E 到y 轴距离为3，∴x 1＋x 22＝3.∴|AB |＝10.4．(2011·高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.5．(2011·高考四川卷)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A ．(－2，－9)B ．(0，－5)C ．(2，－9)D ．(1，－6)解析：选A.当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ， ∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6a －22＋1 .由题意得6a －22＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0， ∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9. 顶点坐标为(－2，－9)． 二、填空题6．(2012·高考重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝__________. 解析：由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2，将y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝2x ，∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝14.而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.答案：567．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，C 上的点M 在C 的准线上的射影为M ′，若MM ′→·MF →＝12|MM ′→|·|MF →|，则点M 的横坐标为________．解析：如图所示， ∵MM ′→·MF →＝|MM ′→||MF →|cos ∠M ′MF＝12|MM ′→||MF →|， ∴cos ∠M ′MF ＝12.∴∠M ′MF ＝60°.又∵|M ′M |＝|MF |，故△MM ′F 为正三角形． 设M (x ，y )，则M ′(－1，y )，F (1,0)，∴|M ′F |＝－1－12＋y 2＝|MM ′|＝x ＋1，整理得y 2＝x 2＋2x －3，将y 2＝4x 代入y 2＝x 2＋2x －3得x 2－2x －3＝0， 即x ＝3或－1(舍)． 答案：38．(2011·高考重庆卷)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________．解析：如图所示，若圆C 的半径取到最大值，必须为圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a <3)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2＝2x 联立得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1. 答案：6－1 三、解答题9．(2013·东北三校调研)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，试求抛物线的方程．解：当抛物线开口向上时，准线为y ＝－14a ，点M 到它的距离为14a ＋3＝6，a ＝112，抛物线的方程为y ＝112x 2.当抛物线开口向下时，准线为y ＝－14a ，M 到它的距离为－14a －3＝6，a ＝－136.抛物线的方程为y ＝－136x 2.所以，抛物线的方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2.10．设抛物线y 2＝4ax (a ＞0)的焦点为A ，以B (a ＋4,0)点为圆心，|BA |为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同两点M 、N ，点P 是MN 的中点．求|AM |＋|AN |的值．解：设M 、N 、P 在抛物线的准线上射影分别为M ′、N ′、P ′， 则由抛物线定义得|AM |＋|AN |＝|MM ′|＋|NN ′|＝x M ＋x N ＋2a .又圆的方程为[x －(a ＋4)]2＋y 2＝16，将y 2＝4ax 代入得x 2－2(4－a )x ＋a 2＋8a ＝0， ∴x M ＋x N ＝2(4－a )，所以|AM |＋|AN |＝8.11．(探究选做)如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程．解：(1)证明：由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，则y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p(x －x 0)．直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p(x －x 0)．所以x 212p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)，①x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)，② 由①－②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2)由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①、②并整理得x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0，所以x 1、x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2，又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ，所以k AB ＝2p.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2AB · x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋4p2·16＋16p 2.又|AB |＝4 10， 所以p ＝1或p ＝2.因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y . 直线与圆锥曲线一、选择题1．(2013·福州模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．(2011·高考大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45解析：选D.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.法二：由法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝3×0＋4×－25×2＝－45.3．已知曲线C 1的方程为x 2－y28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x －3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为( )A.33B.12C ．1D.3解析：选A.设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1a －32＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k2＝1，∴k ＝33或k ＝－33(舍去)． 4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B.3C.3＋12D.5＋12解析：选 D.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，而k BF＝－bc，∴ba·(－bc)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝1＋52或e＝1－52(舍去)，故选D.5．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B 两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )A.x23－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D.x25－y24＝1解析：选B.∵k AB＝0＋153＋12＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，把y＝x－3代入双曲线方程，则x2a2－x－32b2＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6a2a2－b2＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴双曲线E的方程为x24－y25＝1.二、填空题6．(2011·高考江西卷)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点⎝⎛⎭⎪⎫1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A(1,0)．切点B(m，n)满足⎩⎪⎨⎪⎧n－12m－1＝－mnm2＋n2＝1，，解得B⎝⎛⎭⎪⎫35，45.∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为x25＋y24＝1.答案：x25＋y24＝17．(2013·广西梧州高三检测)设点F为抛物线y＝－14x2的焦点，与抛物线相切于点P(－4，－4)的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是________．解析：∵y′＝－12x，∴k PQ＝y′|x＝－4＝2，∴直线PQ的方程为y＋4＝2(x＋4)．令y＝0，得x＝－2，∴点Q(－2,0)．又∵焦点F(0，－1)，∴k FQ＝－12，∴k PQ·k FQ＝－1，∴∠PQF＝π2.答案：π28．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF→＝2FD→，则C的离心率为________．解析：法一：如图，设椭圆C的焦点在x轴上，B(0，b)，F(c,0)，D(x D，y D)，则BF→＝(c，－b)，FD→＝(x D－c，y D)，∵BF→＝2FD→，∴⎩⎪⎨⎪⎧c＝2x D－c，－b＝2y D，∴⎩⎪⎨⎪⎧x D＝3c2，y D＝－b2.∴3c22a2＋－b22b2＝1，即e2＝13，∴e＝33.法二：设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(x D，y D)，则|BF|＝b2＋c2＝a.作DD1⊥y轴于点D1，则由BF→＝2 FD→，得|OF||DD1|＝|BF||BD|＝23，∴|DD1|＝32|OF|＝32c，即x D＝3c2.由椭圆的第二定义得|FD|＝e(a2c－3c2)＝a－3c22a.又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c2a，整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13.∴e ＝33.答案：33三、解答题9. 已知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F ，准线为l ，过F 作直线m 交抛物线C 于M ，N 两点．求S △OMN 的最小值．解：由题意知F (1,0)，l ：x ＝－1， 设m ：x ＝ay ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＋1y 2＝4x ⇒y 2－4ay －4＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4a y 1y 2＝－4.S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝12·16a 2＋16＝2a 2＋1≥2(a ＝0时取得等号)． 所以S △OMN 的最小值为2.10．(2012·高考重庆卷)如图所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.11．(探究选做)(2012·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．圆锥曲线综合（一）(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116) D ．(116，0) 解析 将抛物线方程变为x 2＝2×18y ，知p ＝18，又焦点在y 轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116 )．答案C2．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )．A．2 B．3 C．5 D．7解析点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D.答案D3．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )．A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0解析因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D.答案D4．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )．A.x216－y248＝1B.x29－y227＝1C.x216－y248＝1或y29－x227＝1D．以上都不对解析当顶点为(±4，0)时，a＝4，c＝8，b＝43，x216－y248＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝33，y29－x227＝1.答案C5．已知椭圆与双曲线x23－y22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为( )．A.x220＋y225＝1 B.x225＋y220＝1C.x225＋y25＝1 D.x25＋y225＝1解析双曲线x23－y22＝1中a21＝3，b21＝2，则c1＝a21＋b21＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的c＝5，又椭圆的离心率e＝ca＝15，则a＝5，a2＝25，b2＝a2－c2＝20，故椭圆的标准方程为x225＋y220＝1.答案B6．(2011·山东烟台期末)已知椭圆x241＋y225＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )．A．10 B．20 C．241 D．441解析|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|B F2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝441.答案D7．双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )．A．2 B. 3 C. 2 D.3 2解析双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y＝±bax，依题意ba·(－ba) ＝－1，故b2a2＝1，所以c2－a2a2＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝ 2.故选C.答案C8．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是( )．A．(34π，π) B．(π4，34π)C．(π2，π) D．(π2，34π)解析椭圆方程化为x21sin α＋y2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y轴上，∴－1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案D9．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x 1·x2＝－12，则m等于( )．A.32B．2 C.52D．3解析依题意，得k AB＝y2－y1x2－x1＝－1，而y2－y1＝2(x22－x21)，得x2＋x1＝－12，且(x2＋x12，y2＋y12)在直线y＝x＋m上，即y2＋y12＝x2＋x12＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m，∴2(x22＋x21)＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，2m＝3，m＝32.答案A10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝1解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b＝2，得a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是x25－y24＝1.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．)11．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得（p2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p＝4.答案412．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．解析当0<m<1时，y2 1 m ＋x21＝1，e2＝a2－b2a2＝1－m＝34，m＝14，a2＝1m＝4，a＝2；当m>1时，x21＋y21m＝1，a＝1.应填1或2.答案1或213．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，因此所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1.答案x 24－y 23＝1 14．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析 由题意，知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)， 所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案2－1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解 由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a2＋9a 2－25＝1，a 2＝40， 双曲线的过点P (3，4)的渐近线为y ＝b 25－b2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16.所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.17．(10分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．解 由题意，知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝2x ，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12y 21x 2＝12y22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k 2OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1.所以所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.18．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·（－169）2－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.19．(12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35， (1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标． 解 (1)由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22（1－m ）2－4·m 24＝5（1－2m ）.由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4.。