湖北省部分重点中学2018—2019学年度上学期新高三起点考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）<>1.已知集合{x | A:2 - 3x + 2 > 0}, N ={ x|log3（x+2）< 1},则A A B =A. {x\-2<x< 1}B. {x|x<l§Kx>2}C. x\x< 1D.①2.己知复数z满足（z-0-（l + 0 = 2-i,则z・z =1yj 2 /~A. 1B. -C. —D. V22 23.设等差数列{%}前兀项的和为S”，若S4 =20“ =1（），则细=A. -32B. 12C. 16D. 324.已知命题P： 3XG/?,3V<X3,那么命题「p为A. V XG 7?,3'>x3B. /?,3v>x3C. Vxe R,3' >x3D. 7?,3V A X']—x5.已知函数/（兀）= 0+厂）ln—,若/⑷=1,则/（一。

）=1 +xA. 1B.-1C. 3D. -36.执行程序框图，假如输入两个数是21、k二2,那么输出的S二A. 1 + V15B. V15C.4D. V177.有四位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为,3 9 , 8 4A. —B. —C. —D.—4 16 9 97T8.已知函数/（x） = sin（6Z2X +^）（69 >0, \（p\< —）,其图象2兀一y 209.已知满足 <兀-注0 ,若」一的最大值为2,则加的值为X+ 110.已知两点A (a, 0), B (-a, 0) (a>0),若圆(x-^3)2 + (y-1)2 = 1 上存在点P,使得ZAPB=90%则止实数d的取值范禺为A. (0,3]B. [1, 3] C・[2,3] D. [1,2]2 211.己知A, B, C是双曲线罕一爲二](a>b>0)±的三个a b~经过原点0, AC经过右焦点F,若BF丄AC且2|AF| = |CF|,曲线的离心率是5 Vn , Vn 9A. —B. -----------C. -------------D.—3 3 2 4Y12.已知函数/(%) = —，若关于尢的方程[/(x)]2+m/(x) + m + l= 0恰有3个不同的实数g解，则实数m的取值范闱是A. (一8, 2)U(2, +8)B. (1--, +8)c. ( 1--, 1) D. (1, e)e e二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分。

213.(/+_)5的展开式中兀4项的系数为___________ .14.函数f(x) = 2sin(— -x)cos( — -x) 4- V3 sin 2x的最小正周期为4 415.如图所示，圆0及其内接正八边形。

己知OA=^OB=e^，点P为正八边形边上任意一点，OP=Ae} +//e2,2> pwR,则兄+ “的最大值为________________TT相邻两条对称轴之间的距离为7将函数—3的图彖向左平移丘个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y = f(x)的图象TTA.关于点(—,0)对称16TTC.关于直线兀=—对称16冗B.关于点(―—,0)对称167TD.关于直线兀=一一对称4点，AB第15题图人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；（2）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为X,求随机变量 X 的分布列及其数学期望。

16. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程 骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

题为选考题，考生根据要求作答。

） （一）必考题：共60分。

己知数列｛色｝的前比项和为S”，也=1,且满足S” = %—. （1）求数列｛a n ｝的通项a n :（2）求数列｛na tl ｝的前〃项和为町.18. （本小题满分12分）如图,四棱锥P - ABCD 的底® ABCD 为平行四边形,DA = DP,(1) 求证：PA 丄BD ；(2) 若 DA 丄 DP, ZABP = 60° , BA=BP=2,求二面角D —PC 一 B 的正弦值19. 为了研究学生的数学核心素养与抽象能力（指标x ）、推理能力（指标y ）、建模能力（指标刁 的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w 二x+y+x 的值评定学生的数 学核心素养，若3<vv<4,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若5<vv<6, 则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名 学生，得到如下数据：学生 编号•A川2為*9岛人8岛^10（WZ ） (2,2,3) (3,2,3)(3,3,3)(1,2,2)(232)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(24,1)(2,2,2)（1）在这 10名学生第16题图为 _____ • 或演算步 第 22、 23r20.已知A, B, C为椭圆E: —+ y2=l±三个不同的点,坐标原2点，若0为AABC的重心。

(1)如果直线AB、0C的斜率都存在，求证为定值;(2)试判断AABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由。

. 1 121.设函数f(x) = cvc^ -a-\nx^(x) = ------- ，英屮awR, e二2. 718…为自然对数的底x e数.(I)讨论/⑴的单调性;(II)证明:当x>l时,g(兀)>0；(III)如果/(兀)〉g(x)在区间(1，+8)内恒成立，求实数a的収值范围.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4 一4:坐标系与参数方程］(10分)［x = t己知在平面直角坐标系：xOy中，直线/的参数方程是｛(r是参数)，以原点0［y = 2r + 6为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p = 2^/2cos0.(I)求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(II)设H (x, y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围。

23.［选修4-5:不等式选讲］(10分〉己知函数/(x)=|x-a| + |x+l|.⑴若沪2,求不等式/(x)>x + 2 >x+2的解集：(II)如果关于x的不等式/(x) < 2的解集不是空集，求实数a的取值范围。

湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案ABDCDCDB BBBC13.4014.龙15. 1+Q16. 型兰317.解：(1) S n=a n+1.当n=l 时，a2=1,当心2 吋，s n-l=a nAa n= S ir S n-l=a ii4-l_a n Aa n+l = 2a n,衍=1尼2=1,不满足上式，所以数列｛%｝是从第二项起的等比数列，其公比为2；a =f 1>(n=1)所以n"[2n-2,(n>2) ...... ...................... 6 分(2)当n=l时,T i=1,当n»2时T n=H-2x2^+3x2^4-,,,+nx2n ' 2T n=lx2+2x21+3x224--+nx2,pl>.-.-T n=l+21+22+•••+2n_2-nx2n4=^|^-n2n4.•.T n=(n-l)2n-1+ln=l时也满足,综上T n=(n-l)2n-1+l ............................... i2分18.解：(1)证明：取AP中点M,连DM,BM ,•: DA = DP , BA = BP:.阳丄DM , P4 丄BM , I DM cBM:.PA丄面DMB,又•: BD u 面DM3, PA丄BD ............................ 4 分(2) DA = DP f BA = BP, DA 丄DP , ZABP = 60°A \DAP是等腰三角形，\ABP是等边三角形，・・・AB = PB = BD = 2 , BM =y/3.・・・DM =] 9 :.BD2 = MB2 + MD2, :. MD丄MB 以MP, MB, MD所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则4(—1,0,0), B(0,V3,0), P( 1,0,0), D(0,0,l)从而得DP = (1,O,—1), DC = AB = (1,^,0), BF = (1,-V3,o),n • DP = 0兀| 一 Z| = 0则｛I u ,即｛ I I ,q • DC = 0 兀］+ 73^ = 0 由｛叮眈加，得「+；2=0 叮 BP = 0 x 2 -A /3^2 =0______________ 4行设二面角 D 一 PC-B 为a , /. sintz = Jl-cos? < 叫,® > = 19.解:AiA 2 A3 A4A5A 6 A?AgA9A10X 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 y 2 2 3 2 3 3231 2Z3 33 2 2 3 2 31 2W78957868 46（1）rfl 题可知：建模能力一级的学生是A%建模能力二级的学生是A 4^A 5>A 7>A 10;建模能力三级的学生是A P A 2*A 3»A6>A 8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,记“所取的两人的综合指标值相同”为事件B（2）由题可知，数学核心素养一级的学生为:餌宀人昇昇討匕非一级的学生为余下4人 •••X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3.•••随机变量X 的分布列为:X123设平面DPC 的法向量q =（X,，必,zj设平面PCB 的法向量7?2 =（兀2，儿勺）， /. cos<n 15/i 2 >=耳|”212分P(AR)P(A)c ：+c ；1 - 4= 4_16 =P(X=0) =Cc ； 1c l C 22 ioC 2C l 1P (X=2) =卑二丄 C 2 c 3c',P(X=3) =于二5o q =(-巧,1,_舲)，P 1303101215••・EX=0x 箱+1X£+2X；+3><2=1.810分12分20.X2 2_〔解：(1)设直线AB:y=kx+m,代入7『=丄得:(l+2k2)x24-4kmx+2fm2-l)=0设A(Xi，y)B(X2，y2), 卄2=怦_”2=迥切则1 2 21C+1 1 2 2k z+l ;由A=16m2k2-8(H-2k2)fm2-l>0得：m2<l+2k2线段AB中点D(-一,一^―),因为0为AABC的重心,2k~+1 2k~+l所以^AB K)C =^AB K)D =" (一=~) = 一£ 为定值. ..........2k 2点差法求证相应给分.⑵设哄曲贝严如弘船沪（們2）=鉛X2 2 ,____代入玄+y "得l+2k2=4m2,又|AB|=pi+k2|x「X2|,d=原点°到AB的距离m1+k于是S AOAB T A BW制叫（鴿=迪$云21<2 n?=国呗気骞芽麺Ql+2k m诂百（3m计S _3S _3 典所以％ABC ®OAB于（定值）.……12分1 0 “2 ]21.解：(I ) /r(x) = 2ax——= ------------- (x > 0).X当a S0时,f （兀）〈0, /（兀）在（0,+oo）内单调递减.当d > 0时，由f f（x\二0有兀二f—.y]2a当XG (0, 时,/(%) <0, /(x)单调递减;当 XG (-=,+oo)时，f\x) >0, /(X )单调递增 \l2ci令 5(x)= e v_1 - x,则 5/(x)=e v_1 -1.当兀>1时，/(x)>0,所以£(兀)单调递增，又s(l) = 0, ・・.s(x)>0, 从而x> 1时，g(x)二丄一】T >0............................................................................. 7分x e(III) 由(II),当兀>1 时,g(x)>0.当 tz < 0 , x 〉l 时，-1)一lrtr <0.故当f(x) > g (兀)在区间(1,+8)内恒成立时，必有d 〉0 ........ .......................8分当 0 < a < —时，一.—> 1.2 y]2a[丄、V2^z >所以此时/(X )> g(x)在区间(1,+8)内不恒成立. 当时，令力(兀)二 /(x) - g(x) ( x> 1).当兀>1吋，//(x)=2处一丄+丄一』-"> 兀一丄+丄一丄二才-2x+l 〉f -2x+l 〉0X X X x~ X 因此，力(兀)在区间(1,+00)单调递增.又因为力(1)二0,所以当兀>1时，/z(x)= /(x)-g (兀)>0,即/(x)> ^(x)恒成立.r 1 、综上，a G —,+oc ...... ...................... 12 分1_222.解：(x —t(I )由|y=2t+6,得y=2x+6,10分X 2X 2(II) g(x) =>0,</(1) = 0,而g故直线1的普通方程为2x・y+6=0,r f1p=2A/2cos9>得p2=2A/2pcos0j所以/+y2=2V2x,即(x・Q)2+y2=2, 故曲线C的普通方程为(x-V2)2+y2=2. 5分(II)据题意设点M(x/2+^cos0^sine),则x+y=\d+Qcos8+Qsin8=\/^+2sin(8+署)所以x+y的取值范围是卜2+、22+Q]. ......................... 10分23.—2.X 4-1(X V — 1)解：([)当a=2 时，知/(x) = J 3 (-l<x<2),不等式f(x)>x+2 等价于2x-l (x> 2)[x<-\[-1 <x<2 fx> 2 _p.\ 或彳或Q 解得：兀vl或兀>3 [—2x 4-1〉x + 2 〔3 > 兀+2 — 1 > 兀 + 2故原不等式的解集为{兀|兀v 1或c > 3} ................... 5分(II) vf(x)=|x-a|+|x+l|>|(x-a)-(x+l)|=|a+l|,当(x-a)(x+l)<0时取等号.•••若关于x的不等式f(x)v2的解集不是空集，只需|a+l|<2,解得-3<a<l,即实数a的取值范围是<3,1). .................................. 1。