动物集群的运动研究摘要针对动物集群运动机理的研究在近几年受到了国内外学者的广泛关注。

研究这些集群运动不仅对人们的工作和生活具有重要的现实意义，对了解自然界和生物系统也具有深远的科学意义。

集群运动的研究具有广阔的应用前景：在工程方面，生物群体中的同步、避障机制可以有效地应用到分布式机器人集群、无人驾驶飞行器群、卫星群的运动控制等。

本文针对动物集群的运动进行了研究，完成了对动物集群运动的数学模型建立和计算机模拟，并通过改进的模型对动物集群躲避捕食者和集群中领导者的作用进行了分析。

文中首先对Vicsek和Boid两种常见的模型进行分析，通过Matlab得到仿真结果并对其影响因素进行了定性分析。

在此基础上提出自己的模型用于模拟动物种群运动，并尽量在新模型中弥补Vicsek模型和Boid模型的不足。

新的模型考虑了集群中个体的视角范围，以使结果更加接近实际。

在考虑躲避捕食者的时候，在每个个体的运动规则中加入对捕食者的感知与避让，即让每个个体在捕食者进入感知范围内后都尽力改变方向朝着远离捕食者的方向运动，并且将此原则设立为最高优先级，通过计算机模拟得到了较好的效果：当捕食者接近时，近处的个体会优先躲避捕食者，并通过对邻居的影响使得整个集群形状发生改变以避开捕食者，远离捕食者的过程中集群中的个体运动又会逐渐同步。

并考虑各个参量对同步速度的影响。

针对有领导者的集群，本文对领导者在原有运动原则的基础上加入一个优先方向，领导者的运动方向受到优先方向和周围的邻居共同影响。

模拟结果显示经过一段时间的同步，集群最终会按照领导者的运动规律进行运动。

针对模型中各个参数的影响，本文进行了定量的分析。

分析结果显示随机影响（噪音）对集群的最后同步效果有较强影响但对同步速度影响不大，集群中个体的感知范围和集群密度的增大都对同步速度有积极的影响，而视角只在一定范围增大才对同步速度有积极影响。

关键词：Vicsek模型Boid模型有限视角范围集群运动目录1.问题重述 (1)2.模型假设 (1)3.符号说明 (1)4.问题分析 (2)5.问题一 (5)5.1.模型的分析 (5)5.2.改进的Boid模型 (5)4.2.1有限视角角度 (5)4.2.2单个个体速率可变的情况 (6)4.2.3改进后的Boid模型 (7)5.3.仿真验证 (8)5.4.结论 (10)6.问题二 (11)6.1.模型的收敛 (11)6.1.1噪声对收敛速度的影响 (11)6.1.2鱼群密度对收敛速度的影响 (12)6.1.3感知范围对收敛速度的影响 (12)6.2.结论 (13)7.问题三 (13)8.模型的评价与改进 (13)10.1 优点 (15)10.2 缺点以及改进 (15)9.参考文献 (15)1.问题重述自然界中存在着大量的群体运动现象。

宏观上，恒星、行星、星云等天体之间的聚集形成的星系的运动，大气中的水汽凝聚形成大气运动，微观上，细菌等微生物以及人类的黑色素细胞也存在群体运动。

在动物界，这种现象更是常见，在昆虫、鸟类、鱼类中都大量存在。

这些动物集群在运动过程中具有很明显的特征：集群中的个体聚集性很强，运动方向、速度具有一致性。

通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息传递机制一直是仿生学领域的一项重要内容。

题目要求我们结合相关资料，分析动物集群运动的机理，进而建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为，主要专注于解决以下三个方面的问题：1.通过建立数学模型来模拟动物的集群运动；2.通过建立数学模型刻画诸如鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的一类运动行为；3.考虑动物群体中有一部分个体是信息丰富者，如掌握食物源的地理位置或者掌握迁徙路线信息，建立数学模型分析这类“领导者”对群体行为的影响，解释群体运动方向如何达成；2.模型假设1．假设集群中每个个体的视野都是有限的，且视角相等。

2．假设集群中个体的速率是可变的，其最大速率相等。

3．不考虑集群中个体大小对于集群运动的影响。

4．假设文中使用的随即因素满足正态分布。

3.符号说明vc4.问题分析动物集群运动机理的研究属于集群动力学的一个方面，集群动力学作为一门新兴学科在近几年受到了国内外学者的广泛关注。

集群行为遍及自然界、生物系统和人类社会，可谓无处不在，其研究成果也具有较强的实用价值。

一般来说，对集群运动的研究方法可以分为两类：一类是利用理论推导和应用已有的理论，试图去理解和解释集群行为的内在原因；另一类是从实际的集群运动和个体生物特征出发，通过构造模型去发现实际集群运动中存在的规律。

其中，典型的模型有以下几种：Vicsek Model、Boid Model 和Leader-follower Model等。

不同模型有各自的特点也存在不足，如Vicsek模型无法模拟出鱼群的类漩涡游动，有的模型无法描述如蔽障这一类较为复杂的群体行为，多数模型忽略了对同步速度（收敛时间）的考虑，而这却是判断同步策略优劣的重要标准。

另外，大多数模型都没有考虑集群中个体的视角范围，而视角范围实际上是不同集群呈现出不同运动规律的一个重要因素：比如昆虫，如蚂蚁之间通过化学信号进行沟通，每个个体可以感知周围360度一定距离内的所有其他个体；鸟类和鱼类主要通过视觉感知周围的个体（如猫头鹰最大视角约为201度），不同鸟类和鱼类之间视觉角度的不同是两种群集运动规律不同的一个重要因素。

本文通过建立数学模型描述动物集群中个体间的相互作用来刻画整个群体的运动规律。

首先对两种常见的模型进行分析并通过matlab得到结果并对其影响因素进行了分析。

通过参考现有的两种模型（vicsek和boid），提出自己的模型用于模拟动物种群运动，并尽量在新模型中弥补vicsek模型和boid模型的不足。

在考虑躲避捕食者的时候，在每个个体的运动规则中加入对捕食者的感知与避让，即让每个个体在捕食者进入感知范围内后都尽力改变方向朝着远离捕食者的方向运动。

针对有领导者的集群，可以对领导者在原有运动原则的基础上加入一个优先方向，领导者的运动方向受到优先方向和周围的邻居共同影响。

5.已有模型介绍5.1.Boid模型Boid模型是1986年由美国人Craing W. Reynolds发明的一种计算机模型用于模拟鸟类等动物的群体运动，这个模型最早来源于复杂性科学，现在被广泛应用于电脑游戏中的涌现模型。

Craing用计算机屏幕上的运动点代表鸟类个体，这样一来一群点就对应一个鸟群。

每个鸟都仅能观察到固定范围内的其他临近的个体，Craing通过反复的实验发现只要用三条非常简单的规则就能让计算机中的虚拟鸟类模拟现实世界中的鸟群行为。

三条规则具体如下：1.靠近原则：每个biod个体都要尽量去靠近它的邻居所在的中心位置，其对邻居的感知范围是以自己为中心，以某一距离为半径的圆形（球形）区域。

2.对齐原则：每个biod个体的运动方向要尽量与周围的邻居的运动方向保持一致。

若偏离了邻居们的平均运动方向，biod个体就会做细微的调整使运动方向与邻居的平均方向平行。

3. 避免碰撞原则：当biod 与某些邻居靠的太近时就会尽量去避开，以避免发生碰撞。

这三条简单的规则就是biod 灵活飞行的决定因素。

其示意图如图 1靠近原则 对齐原则 避免碰撞图1：biod 运动原则Boid 模型可以由数学模型进行精确的描述。

确定系统有N 个个体组成，每个个体由一个位置矢量i c 和一个速度矢量i v 描述。

每个个体在三维空间中按照恒定的速度v 运动，)1(+t i θ表示编号为i 的个体在1+t 时刻的运动方向。

在每一步t ，每个个体可以感知到三个不重叠的区域中其他个体的位置和方向，这些信息将用于计算)1(+t i θ，这三个区域分别为：排斥区域（repulsion ），一致区域（orientation ），吸引区域（attraction ）。

因此，此模型也被称为“三区域”模型。

三个区域的排列顺序为：由近到远依次为排斥区域，一致区域，吸引区域。

个体的运动规则可以描述为：首先，个体尽量与排斥区域（以该个体为中心，以r r 为半径的球）中的其他个体尽可能保持距离，并记其中个体数为r n ，则个体i 的预期运动方向按照下面的方式进行调整：0,,...2,1,)()()1(>=-=+∑≠t N i t r t r t d r n i j ij ij i （1）其中)()(i j ij c c t r -= ；其次，如果0=r n ，则个体i 的预期方向受一致区域（以个体i 为中心，处于r r 和o r 之间的球形区域）以及吸引区域（以个体i 为中心，处于o r 和a r 之间的球形区域）中的个体的影响，记相应区域中的邻居个数分别为o n ，a n ，则可定义)1(+t d o ，)1(+t d a 如下：∑≠=+o n i j i i o t v t v t d )()()1( ； ∑≠=+a n i j ijij a t r t r t d )()()1( （2） 如果0=a n ，则)1()1(+=+t d t d o i ；同样，如果0=o n ，则)1()1(+=+t d t d a i；如果两者都不为0，则定义)]1()1([)1(21+++=+t d t d t d a o i 。

如果经过上面的运算后得到的0)1(=+t d i ，或者在三个区域中都没有个体，则)()1(t v t d i i =+。

设旋转速率为θ，如果)(t v i 与)1(+t d i 之间的角度差小于θ，则)1()1(+=+t d t v i i ，否则个体i 向着期望的方向旋转角度θ，这样就得到了个体下一步的运动方向。

通过matlab 编写程序对上述模型进行仿真，可以得到群体的运动图像，改变模型中参数就可以得到不同的运动结果如图2345所示：图2 图3图4 图5图2表现出鱼群向集体相一方向移动；图3表现处鱼群在一片区域内不规则运动；图4表现鱼群正在进行方向变换；图5表现鱼群正在朝着一个中心集合。

5.2. Vicsek 模型Vicsek 模型由匈牙利物理学家T.Vicsek 及其合作者于1995年从统计力学的角度提出，他不仅算法简单，而且能比较真实的模拟自然界的一些群集同步现象。

Vicsek 模型描述的是个体数为N 的一群可以视为质点的个体在L L ⨯的二位周期边界条件的平面上的运动情况。

其基本的运动规则如下：在每一时步中个体的速度大小保持不变，方向取其周围个体的平均方向，即以该个体为中心在半径为r 的圆内所有个体的平均方向。

每个个体的初始位置在平面区域内随机分布，初始运动方向在),[ππ-间随机分布。

记)(t x i 为个体在t 时刻的位置，则位置变换的表达式为：t t v t x t x i i i ∆+=+)()()1( (3)速度方向的更新规则为：i r i i t t θθθ∆+>=<+)()1( (4)其中i θ∆代表噪音，取值为]2,2[ηη-的随机数，η为可调整的常数。