2018-2019学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）点(3,4)A -所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为点(3,4)A -的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A 在第二象限．故选B ．2．（4分）一次函数32y x =--的图象和性质，述正确的是()A．y 随x 的增大而增大B．在y 轴上的截距为2C．与x 轴交于点(2,0)-D．函数图象不经过第一象限【解答】解：A ．一次函数32y x =--的图象y 随着x 的增大而减小，即A 项错误，B ．把0x =代入32y x =--得：2y =-，即在y 轴的截距为2-，即B 项错误，C ．把0y =代入32y x =--的：320x --=，解得：23x =-，即与x 轴交于点2(3-，0)，即C 项错误，D ．函数图象经过第二三四象限，不经过第一象限，即D 项正确，故选：D ．3．（4分）一个三角形三个内角的度数之比为3:4:5，这个三角形一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：因为34512++=，551212÷=，51807512︒⨯=︒，所以这个三角形里最大的角是锐角，所以另两个角也是锐角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以这个三角形是锐角三角形．故选：A ．4．（4分）下列命是真命题的是()A．π是单项式B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．两点之间，直线最短D．同位角相等【解答】解：A 、π是单项式，是真命题；B 、三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角，是假命题；C 、两点之间，线段最短，是假命题；D 、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选：A ．5．（4分）等腰三角形的底边长为4，则其腰长x 的取值范围是()A．4x >B．2x >C．02x <<D．24x <<【解答】解： 等腰三角形的底边长为4，腰长为x ，24x ∴>，2x ∴>．故选：B ．6．（4分）已知点(,3)A m -和点(,3)B n 都在直线2y x b =-+上，则m 与n 的大小关系为()A．m n >B．m n<C．m n =D．大小关系无法确定【解答】解： 一次函数2y x b =-+图象上的点y 随着x 的增大而减小，又 点(,3)A m -和点(,3)B n 都在直线2y x b =-+上，且33-<，m n ∴>，故选：A ．7．（4分）把函数33y x =-的图象沿x 轴正方向水平向右平移2个单位后的解析式是()A．39y x =-B．36y x =-C．35y x =-D．31y x =-【解答】解：根据题意，直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，所以得到的解析式是3(2)339y x x =--=-．故选：A ．8．（4分）一个安装有进出水管的30升容器，水管单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y （升)与时间x （分)之间的函数关系如图所示．根据图象信思给出下列说法，其中错误的是()A．每分钟进水5升B．每分钟放水1.25升C．若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完D．若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满【解答】解：每分钟进水：2045÷=升，A 正确；每分钟出水：(51230)8 3.75⨯-÷=升；故B 错误；12分钟后只放水，不进水，放完水时间：30 3.758÷=分钟，故C 正确；30(5 3.75)24÷-=分钟，故D 正确，故选：B ．9．（4分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且BD BE =，CD CF =，70A ∠=︒，那么FDE ∠等于()A．40︒B．45︒C．55︒D．35︒【解答】解：ABC ∆中，180110B C A ∠+∠=︒-∠=︒；BED ∆中，BE BD =，1(180)2BDE B ∴∠=︒-∠；同理，得：1(180)2CDF C ∠=︒-∠；1180()1802BDE CDF B C FDE ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠；1()552FDE B C ∴∠=∠+∠=︒．故选：C ．10．（4分）如图所示，ABP ∆与CDP ∆是两个全等的等边三角形，且PA PD ⊥，有下列四个结论：①15PBC ∠=︒，②//AD BC ，③PC AB ⊥，④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据题意，36060290150BPC ∠=︒-︒⨯-︒=︒BP PC = ，(180150)215PBC ∴∠=︒-︒÷=︒，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，∴②//AD BC ，③PC AB ⊥正确；④也正确．所以四个命题都正确．故选：D ．二、填空（本大共4小，每小题5分，满分20分）11．（5分）函数2x y -=x 的取值范围是2x 且2x ≠-．【解答】解：根据题意，得：2020x x -⎧⎨+≠⎩，解得：2x 且2x ≠-，故答案为：2x 且2x ≠-．12．（5分）若点(,3)a 在函数23y x =-的图象上，a 的值是3．【解答】解：把点(,3)a 代入23y x =-得：233a -=，解得：3a =，故答案为：3．13．（5分）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50︒，则此等腰三角形的顶角为40︒或140︒．【解答】解：当为锐角时，如图50ADE ∠=︒ ，90AED ∠=︒，40A ∴∠=︒当为钝角时，如图50ADE ∠=︒，40DAE ∠=︒，∴顶角18040140BAC ∠=︒-︒=︒，故答案为40︒或140︒．14．（5分）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，24AB =，12AC =，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以3厘米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过0，4，12，16秒时，DEB ∆与BCA ∆全等．【解答】解：设点E 经过t 秒时，DEB BCA ∆≅∆；此时3AE t=分情况讨论：（1）当点E 在点B 的左侧时，24312BE t =-=，4t ∴=；（2）当点E 在点B 的右侧时，①BE AC =时，32412t =+，12t ∴=；②BE AB =时，32424t =+，16t ∴=．（3）当点E 与A 重合时，0AE =，0t =；综上所述，故答案为：0，4，12，16．三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）15．（8分）已知一次函数的图象经过(1,4)A -，(1,2)B -两点．（1）求该一次函数的解析式；（2）直接写出函数图象与两坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1） 图象经过点(1,4)-，(1,2)-两点，∴把两点坐标代入函数解析式可得42k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得31k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为31y x =-+；（2）在31y x =-+中，令0y =，可得310x -+=，解得13x =；令0x =，可得1y =，∴一次函数与x 轴的交点坐标为1(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0,1)．16．（8分）ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）在图中画出ABC ∆与关于y 轴对称的图形△111A B C ，并写出顶点1A 、1B 、1C 的坐标；（2）若将线段11A C 平移后得到线段22A C ，且2(,2)A a ，2(2,)C b -，求a b +的值．【解答】解：（1）如图所示：1(2,3)A 、1(3,2)B 、1(1,1)C ．（2）1(2,3)A 、1(1,1)C ，2(,2)A a ，2(2,)C b -．∴将线段11A C 向下平移了1个单位，向左平移了3个单位．1a ∴=-，0b =．101a b ∴+=-+=-．四、解答题（本大題共2小题，每小题8分，计16分）17．（8分）如图，一次函数图象经过点(0,2)A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ，B 点的横坐标是1-．（1）求该一次函数的解析式：（2）求一次函数图象、正比例函数图象与x 轴围成的三角形的面积．【解答】解：（1） 点B 在函数y x =-上，点B 的横坐标为1-，∴当1x =-时，(1)1y =--=，∴点B 的坐标为(1,1)-，点(0,2)A ，点(1,1)B -在一次函数y kx b =+的图象上，∴21b k b =⎧⎨-+=⎩，得12k b =⎧⎨=⎩，即一次函数的解析式为2y x =+；（2）将0y =代入2y x =+，得2x =-，则一次函数图象、正比例函数图象与x 轴围成的三角形的面积为：[0(2)]|1|12--⨯-=．18．（8分）如图，P ，Q 是ABC ∆的边BC 上的两点，且BP PQ QC AP AQ ====，求ABC ∠的度数．【解答】解：BP PQ QC AP AQ ==== ，60PAQ APQ AQP ∴∠=∠=∠=︒，B BAP ∠=∠，C CAQ ∠=∠．又BAP ABP APQ ∠+∠=∠ ，C CAQ AQP ∠+∠=∠，30ABC BAP CAQ ∴∠=∠=∠=︒．五、解答题（20分）19．（10分）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是1500米．（2）小明在书店停留了分钟．（3）本次上学途中，小明一共行驶了米．一共用了分钟．（4）在整个上学的途中（哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是米/分．【解答】解：（1）y 轴表示路程，起点是家，终点是学校，∴小明家到学校的路程是1500米．（2）由图象可知：小明在书店停留了4分钟．（3）150060022700+⨯=（米)即：本次上学途中，小明一共行驶了2700米．一共用了14分钟．（4）折回之前的速度12006200=÷=（米/分）折回书店时的速度(1200600)2300=-÷=（米/分），从书店到学校的速度(1500600)2450=-÷=（米/分）经过比较可知：小明在从书店到学校的时候速度最快即：在整个上学的途中从12分钟到14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是450米/分20．（10分）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD BE =．（1）请你再添加一个条件，使得BEA BDC ∆≅∆，并给出证明．你添加的条件是AEB CDB ∠=∠．（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）【解答】解：添加条件例举：BA BC =；AEB CDB ∠=∠；BAC BCA ∠=∠；证明例举（以添加条件AEB CDB ∠=∠为例）:AEB CDB ∠=∠ ，BE BD =，B B ∠=∠，BEA BDC ∴∆≅∆．另一对全等三角形是：ADF CEF ∆≅∆或AEC CDA ∆≅∆．故填AEB CDB ∠=∠；ADF CEF ∆≅∆或AEC CDA ∆≅∆．六、解答题（本大题12分）21．（12分）P 为等边ABC ∆的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ．（1）证明：PD DQ =．（2）如图2，过P 作PE AC ⊥于E ，若6AB =，求DE 的长．【解答】（1）证明：如图1所示，点P 作//PF BC 交AC 于点F ；ABC ∆ 是等边三角形，APF ∴∆也是等边三角形，60APF BCA ∴∠=∠=︒，AP PF AF CQ ===，FDP DCQ ∴∠=∠，FDP CDQ ∠=∠，在PDF ∆和QDC ∆中，PDF QDC DFP QCD PF QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()PDF QDC AAS ∴∆≅∆，PD DQ ∴=；（2）解：如图2所示，过P 作//PF BC 交AC 于F ．//PF BC ，ABC ∆是等边三角形，PFD QCD ∴∠=∠，APF ∆是等边三角形，AP PF AF ∴==，PE AC ⊥ ，AE EF ∴=，AP PF = ，AP CQ =，PF CQ ∴=．在PFD ∆和QCD ∆中，PDF QDC DFP QCD PF QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()PFD QCD AAS ∴∆≅∆，FD CD ∴=，AE EF = ，EF FD AE CD ∴+=+，12AE CD DE AC ∴+==，6AC = ，3DE ∴=．七、解答题（本大题12分）22．（12分）某校运动会需购买A ，B 两种奖品，若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元．（1）求A 、B 两种奖品的单价各是多少元？（2）学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元)与m （件)之间的函数关系式．求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值．【解答】解（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得32605395x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得1015(100)51500W m m m =+-=-+∴5150011503(100)m m m -+⎧⎨-⎩，解得：7075m ．m 是整数，70m ∴=，71，72，73，74，75．51500W m =-+ ，50k ∴=-<，W ∴随m 的增大而减小，75m ∴=时，1125W =最小．∴应买A 种奖品75件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．八、解答題（本大题14分23．（14分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，(2,2)A ，(4,3)B -，P 是x 轴上的一点（1）若PA PB +的值最小，求P 点的坐标；（2）若APO BPO ∠=∠，①求此时P 点的坐标；②在y 轴上是否存在点Q ，使得QAB ∆的面积等于PAB ∆的面积，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1） 两点之间线段最短∴当A 、P 、B 在同一直线时，PA PB AB +=最短（如图1)设直线AB 的解析式为：y kx b=+(2,2)A ，(4,3)B -∴2243k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得：527k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线5:72AB y x =-+当5702x -+=时，得：145x =P ∴点坐标为14(5，0)（2）①作点(2,2)A 关于x 轴的对称点(2,2)A '-根据轴对称性质有APO A PO'∠=∠APO BPO ∠=∠ A PO BPO '∴∠=∠P ∴、A '、B 在同一直线上（如图2)设直线A B '的解析式为：y k x b ''=+43k b ⎨''+=-⎩解得：21b ⎨⎪'=-⎩∴直线1:12A B y x '=--当1102x --=时，得：2x =-∴点P 坐标为(2,0)-②存在满足条件的点Q法一：设直线AA '交x 轴于点C ，过B 作BD ⊥直线AA '于点D （如图3)4PC ∴=，2BD =1111()46122222PAB PAA BAA S S S AA PC AA BD AA PC BD ''∆∆∆'''∴=+=+=+=⨯⨯= 设BQ 与直线AA '（即直线2)x =的交点为E （如图4)QAB PABS S ∆∆= 则12122QAB S AE xB AE ∆=== 6AE ∴=E ∴的坐标为(2,8)或(2,4)-设直线BQ 解析式为：y ax q=+28a q +=⎩24a q +=-⎩解得：11219a q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或125a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线11:192BQ y x =-+或152y x =-Q ∴点坐标为(0,19)或(0,5)-法二：QAB PABS S ∆∆= QAB ∴∆与PAB ∆以AB 为底时，高相等即点Q 到直线AB 的距离=点P 到直线AB 的距离)i 若点Q 在直线AB 下方，则//PQ AB 设直线5:2PQ y x c =-+，把点(2,0)P -代入解得5c =-，552y x =--即(0,5)Q -)ii 若点Q 在直线AB 上方，直线552y x =--向上平移12个单位得直线5:72AB y x =-+∴把直线5:72AB y x =-+再向上平移12个单位得直线5:192AB y x =-+(0,19)Q ∴综上所述，y 轴上存在点Q 使得QAB ∆的面积等于PAB ∆的面积，Q 的坐标为(0,5)-或(0,19)。