转动惯量的测定
转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。
刚体转动惯量除了与刚体的质量有关外，还与转轴的位置和质量分布(即形状、大小和密度)有关。
如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。
但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。
转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。
本实验使物体作扭转摆动，由摆动周期及其参数的测定算出物体的转动惯量，利用刚体转动惯量实验仪测定物体的转动惯量。
［实验目的］
1、用扭摆测定弹簧的扭摆常数K。
2、用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较。
3、验证平行轴定律。
［实验仪器］
转动惯量实验仪、米尺、游标卡尺
［实验原理］
一、扭摆的简谐运动
扭摆的构造如图10-1所示，在垂
直轴“1”上装有一根薄片状的螺旋弹
簧“2”，用以产生恢复力矩。
在轴上
方可以装上各种待测刚体。
垂直轴与
支座间装有轴承，摩擦力矩尽可能降
低。
为了使垂直轴“1”与水平面垂
直，可通过底脚螺丝钉“7”来调节，
水平仪“8”用来指示系统调整水平。
将刚体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即
=-(1)
M Kθ
式中，K 为弹簧的扭转常数。
根据转动定律有
M I β= (2)
式中，I 为刚体绕转轴的转动惯量，β为角加速度。
由(1)与(2)得
θ
βI
K -
=
其中2K I
ω=。
忽略轴承的摩擦阻力矩，则有2K I
ω=
θωθθβ2
2
2-=-
==I
K dt
d
此方程表明忽略轴承摩擦阻力的扭摆运动是角简谐振动；角加速度与角位移成正比，且方向相反。
此方程的解为
co s()A t θωϕ=+
式中，A 为简谐振动的角振幅，ϕ 为初位相，ω为角速度。
此简谐振动的周期为
22T π
πω
=
= (3)
利用公式(3)，测得扭摆的周期T ，在I 和K 中任何一个量已知时，即可计算出另一个量。
本实验用一个转动惯量已知的物体(几何形状规则的物体，根据它的质量和几何尺寸，用理论公式计算得到)，测出该物体摆动的周期，再算出本仪器弹簧的K 值。
若要测量其他形状物体的转动惯量，只需将待测物体放在本仪器顶部的各种
夹具上，测定其摆动周期，由公式(3)即可计算出该物体绕转轴运动时的转动惯量。
二、平行轴定理
若质量为m 的刚体通过质心轴的转动惯量为c I ，当转轴平行移动距离为x 时(如图10-2 所示)，此物体对新轴线的转
动惯量变为2
0c I I m x =+，称为转动惯量的平行轴定理。
［实验内容］
1、熟悉扭摆的构造、使用方法，掌握转动惯量测试仪的正确操作要领。
2、测定扭摆的仪器常数(弹簧的扭转常数) K 。
3、测定塑料圆柱、金属圆筒、木球与金属细杆的转动惯量，并与理论值进行比较，求百分误差。
4、改变滑块在细杆上的位置，验证转动惯量的平行轴定理。
[实验步骤]（主要操作要领）：
1、用天平和游标卡尺分别测出待测物体的质量和必要的几何尺寸，如圆柱体的直径、金属圆筒的内外直径、木球的直径以及金属细杆的长度等，填入表1。
2、调整扭摆基座底脚螺丝，使水准仪中气泡居中。
3、装上金属载物盘，调节光电探头的位置。
要求光电探头放置在挡光杆的平衡位置处使载物盘上挡光杆处于光电探头的中央，且能遮住发射、接收红外线的小孔，如图10-1所示。
测定其摆动周期0T 。
4、将塑料圆柱垂直放在载物盘上，测出摆动周期1T 。
5、用金属圆筒代替塑料圆柱，测出摆动周期2T 。
6、取下载物金属盘，装上塑料，测出摆动周期3T 。
7、取下塑料球，装上金属细杆(细杆中心必须与转轴中心重合)，测出摆动周期4T (在计算木球的转动惯量时，应扣除支架的转动惯量)。
8、将滑块对称放置在细杆两边的凹槽内，此时滑块质心离转轴的距离分别为 5.00，10.00，15.00，20.00，25.00cm ，分别测定细杆加滑块的摆动周期 5T (计算转动惯量时，应扣除支架的转动惯量)。
［数据与结果］ 1、求出扭转常数K
用金属载物圆盘和在载物圆盘上放置塑料圆柱时的摆动周期0T 和1T 的实验值以及塑料圆柱转动惯量的理论值I ' (2
118
I m D '=)，
设金属载物圆盘的转动惯量为0I ，则由公式(3)得
01
T T =
或
200
2
2
110
I T
I T T =
'
- ,计算出0
I ，
然后再将0I 和0T 带入公式(3)中，
求出扭转常数K 值，因此，测出0T 和1T ，即可得到扭转常数K 值。
2、计算各个物体的转动惯量的理论值和实验值，并分别填入表1、表2（计算公式以及计算过程写在数据处理的位置）。
【转动惯量测定实验数据】
表 1 转动惯量测量实验数据记录参考表
（已知：球支座转动惯量实验值 2
4
2
000.17910
.4K T I k g m π
-''=
=⨯细杆夹具转动惯量实验值
2
4
2
00
0.23210
.4K T I k g m π
-''''==⨯）
3 验证平行轴定理
表 2 平行轴定理验证实验数记录参考表
（已知：两滑块绕质心轴的转动惯量的理论值
242
51
1222[()]0.80910.1612
I m D D m l k g m -'=++=⨯外内
式中 m 是一个滑块质量，l 是一个滑块的长度，D 外 、D 内分别为滑块的内外直径。
2
2
54
2
.4K T I I k g m π
=
-实验（）
22
52.I I m l k g m '=+理论（））
［实验注意事项］
1、弹簧的扭转常数K 不是固定的常数，它与摆角大小有关系，设摆角为90° ，所以为了减少实验的系统误差，测定各种物体的摆动周期时，整个实验过程摆角基本保持在同一个范围内。
2、光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光杆不能与它接触，以免增加摩擦力矩。
3、在安装待测物体时，其支架必须全部套入扭摆的主轴，并且将止动螺丝旋紧否则扭摆不能正常工作。
4、机座应保持在水平状态。
［实验报告要求］
记录实验所用的实验仪器（型号或规格）和实验环境条件。
叙述实验原理和实验的操作过程，按数据处理要求，给出实验测量结果，分析、讨论本次实验误差产生的原因。
［思考题］
1、弹簧的扭转常数K值不是固定常数，它与摆动角度之间有什么关系？你能分析它引起的系统误差吗？
2、如何测量任意形状的刚体绕转动轴的转动惯量？
3、扭摆在摆动中受空气的阻尼，振幅越来越小，它的周期是否变化？为什么？
4、为什么周期要通过测量10次的时间t 计算得到，直接测量行吗？
5、当圆盘和圆环的质量相等、半径相同时，转动惯量却不相同，试问为什么？。