几类圆锥曲线问题一、弦长问题圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(11,y x )、B(22,y x )两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 例1 过抛物线241x y -=的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解．解答为：∵ 抛物线方程为y x 42-=， ∴焦点为(0，-1)． 设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．将此式代入y x 42-=中得：0442=-+kx x ．∴k x x x x 442121-=+-=，由|AB|=8得:()()41441822-⨯⨯--⋅+=k k ∴1±=k又有1tan ±=α得:4πα=或43πα=. 分析二:利用焦半径关系.∵2,221p y BF p y AF +-=+-= ∴|AB|=-(1y +y 2)+p=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(1x +x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．二、最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例2、已知点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5， 即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9.方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例3、求椭圆x 22＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解 设椭圆的切线方程为y ＝x ＋b ， 代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝± 3. 当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝62，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33， 即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62；当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362.方法3：参数法（函数法）① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解关于这个参数的函数最值例4、在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3， 所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2.方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例5、求椭圆x 23＋y 2＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．例6 已知定点A(0，3)点B 、C 分别在椭圆2216413x y +=的准线上运动，当∠BAC=90°时，求△ABC 面积的最小值。

解：椭圆2216413x y +=的两条准线方程分别为：y=1或y=－1。

点B 在直线y=1上且设B （a ，1），点C 在直线y=－1上且设C （b ，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以2AB k a -=，4AC k b -= AB k ·AC k =81ab =-，ab=－8。

1||||2ABC S AB AC =⋅V =222222114161646422a b a b a b ++=+++=2211612816()82a a ++≥，当且仅当2216a a =，即2a =±，4b =m 时△ABC 面积的值最大为8。

例7 已知2x +4(y-1)2=4，求：(1)2x +y 2的最大值与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值．解：(1)将2x +4(y-1)2=4代入得：2x +y 2=4-4(y-1)2+y 2=-3y 2+8y由点(x ，y)满足2x +4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y ≤2．当y=0时，(2x +y 2)min=0．(2)：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y ，则将此代入2x +4(y-1)2=4中得关于y 的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．令x+y=u ， 则有x=u-y,代入2x +4(y-1)2=4得：52y -(2u+8)y+2u =0． 又∵0≤y ≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×2u ≥0． ∴5151+≤≤-u当51+=u 时,[]2,0551∈+=y ; 当51-=u 时,[]2,0551∈+=y ∴()51max +=+y x ;()51min -=+y x三、定值、定点问题方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 ① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例8、已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．证明: 当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝± 2. 当x ＝2时，代入双曲线方程，得y ＝±2， 即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°， 同理，当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则|b |1＋k2＝2，即b 2＝2(1＋k 2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0， 由直线l 与双曲线交于A ，B 两点． 故2－k 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2kb 2－k 2，x 1x 2＝－b 2＋22－k 2，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－21＋k 22－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°.综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点，则∠AOB 的大小为定值90°.方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值). ① 引进参数表示变化量；② 研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点例9、如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．（自由变量，分析、转化问题）证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k，y 3y 4＝－4，所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝y 1－y 22y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3－y 42＝y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3＋y 42－4y 3y 4＝－16k 28＋9k 22＋4×64k 28＋9k 2－16k 28＋9k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．例10 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证：（1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； （2）直线AB 经过一个定点。

证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。

∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。

（2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y px x y y -=-+∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。