经典难题（一）
仁已知：如图，0是半圆的圆心，C. E是圆上的两点，CD丄AB, EF丄AB, EG丄CO. 求证：CD=GF・（初二）
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=15°. 求证：
APBC是正三角形.（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、AiBiQDi都是正方形,毗、B2. DDj
的中点.
求证：四边形A2B2C2D2是正方形.（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD中.AD=BC, M、N分别是AB. CD的中点，AD、BC的延
长线交MN于E、F.
求证：ZDEN=ZF.
经典难题（二）
仁已知：AABC中，H为垂心（各边髙线的交点），0为外心，且0M丄BC于M.
（1）求证：AH=20M；
（2）若ZBAC = 60°,求证：AH=A0・（初二）
2、设MN是圆0外一直线，过0作0A丄MN于A,自A引圆的两条直线，交圆于B、C及
D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q. 求证：AP=AQ・（初
二）
3、如果
上题把
直线MN
由圆外
平移至
圆内，
则由此
可得以
下命题: G
N A
4、如图，分别以ZkABC的AC和BC为一边•在AABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,
点P是EF的中点・
仁如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC, AE=AC, AE与CD相交于F・求证：CE=CF.（初二）
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F・求证：
AE=AF.（初二）亠
3、设P是正方形A BCD-边BC上的任一点，PF丄AP, CF平分ZDCE.
求证：PA = PF・（初二）
4、如图，PC切圆0于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线P0相交于B、
D.求证：AB = DC, BC=AD・（初三）
A
C
1、已知：ZXABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA=3, I 求：
ZAPB 的度数.（初二）
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且ZPBA=ZPDA. 求证：
ZPAB = ZPCB ・（初二）
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P,且 AE=CF ・求证：ZDPA=ZDPC.（初二）
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB • CD+AD • BC=AC • BD.（初三）
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正AABC内任一点，L=PA+PB + PC,求证：J亍WLV2.
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a, PB=2a, PC=3a,求正方形的边长.
4、如图，Z\ABC 中，ZABC = ZACB = 80。
，D. E 分别是AB. AC 上的点，ZDCA=30°, Z EBA=20°,求ZBED 的度数.
经典难(-)
仁如下图做GH丄AB,连接E0。
由于GOFE四点共圆，所以ZGFH = ZOEG,
2.如下图做ADGC使与AADP全等，可得APDG为等边△,从而可得ADGC^AAPD^ACGP,得出PC=AD=DC,和ZDCG二ZPCG = 15°所以ZDCP=30° ,从而得出APBC是正三角形
3•如下图连接BCi和ABi分别找其中点F,E•连接C2F与A2E并延长相交于Q点, 连接EBz并延长交CzQ于H点，连接FB2并延长交AzQ于G点，
由A2E=|A I B I=|B I C I=FB Z ,EB2=|AB=|BC=FC I , 乂ZGFQ+ZQ二90。
和
ZGEB2+ZQ=90°,所以ZGEB2=ZGFQ 又ZB2FC2二ZA2EB2 , 可得ABzFCz^AAzEBz ,所以A2B2二B2C2 ,
又ZGFQ+ZHB2F=90°和ZGFQ二ZEB2A2 ,
从而可得ZA2B2 C2=90° ,
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
经典难题(二)
1 •⑴延长AD 到F 连BF,做0G 丄AF,
又 ZF=ZACB=ZBHD, 可得BH=BF,从而可得HD 二DF, 又 AH 二GF+HG 二GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接 OB, 0C,既得ZBOC=120°,
从而可得Z BOM=60°,
所以可得 OB=2OM=AH=AO,
得证。
4•如下图连接AC 并取其中点Q,连接QN 和QM ，所以可得ZQMF=
DEN 和ZQMN=ZQNM,从而得岀ZDEN = ZF°
ZQNM=Z
A
AB AE BE 2BG BG
由此可得厶ADF仝ZkABG,从而可得ZAFC=ZAGEo
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得ZAFC=ZAOP和ZAGE二ZAOQ, ZAOP二ZAOQ,从而可得AP二AQ。
4•过E,C，F点分别作AB所在直线的高EG, Cl, FH。
可得PQ= EG ' FH .
2由厶EGA^AAIC.可得EG二Al,由厶BFH^ACBL 可得FH=BL 从而可得PQ= AI + BI =—,从而得证。
2 2
经典难题（三）1 •顺时针旋转AADE,到ZkABG,连接CG・
由于Z ABG= Z ADE=90°+45°=135°
从而可得B, G, D在一条直线上，可得△ AGB^ACGBo 推出AE=AG=AC=GC,可得AAGC为等边三角形。
ZAGB=30°，既得ZEAC=30°,从而可得ZA EC=75°O
又ZEFC=ZDFA=45°+30°=75°.
可证:CE=CFc
2•连接BD作CH丄DE,可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH>
可得ZCEH二30°,所以ZCAE=ZCEA=ZAED=15°>
F I
r i -
I
b±___ K
又ZFAE=90°+45°+15°=150°,
从而可知mZF=15°,从而得岀AE=AFo
3•作FG丄CD, FE丄BE,可以得出GFEC为正方形。
令
AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X。
tanZBAP=tanZEPF= —= --------------------- ,可得YZ=XY-X2+X乙
Y Y-X+Z
即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X二Z ,得岀△ ABP^APEF ,
得到PA = PF ,得证o
A n
2 2
可得DQ 二DG,可得ZDPA=ZDPC （角平分线逆泄理）。
经典难题（五）
1・（1）顺时针旋转△ BPC 60° ,可得APBE 为等边三角形。
既得PA+PB+POAP++PE+EF 要使最小只要AP, PE, EF 在一条直线上, 即
如下图：可得最小1_=爺；
D ,可得:
AE^PQ AE^PQ 、
-- = ,由 AE 二
FC D A
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F°
ill 于ZAPD> ZATP=ZADP,
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF二AF ④
由①②®④可得：最大L< 2 : 由（1）和（2）既得：J亍WLV2。
2•顺时针旋转△BPC60。
，可得APBE为等边三角形。
既得PA+PB+POAP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小PA+PB+PC二AF。
既得AF=
4•在AB 上找一点F,使ZBCF=60° ,
连接EF, DG,既得ABGC为等边三角形，
可得ZDCF=10° , ZFCE=20° ,推出△ ABE仝Z\ACF , 得到BE=CF , FG=GE。
推岀：AFGE为等边三角形，可得ZAFE=80° ,
既得：ZDFG=40°又BD=BC=BG ,既得ZBGD=80°，既得ZDGF=40°推得：DF=DG，得到：ADFE^ADGE , 从而推得：
ZFED=ZBED=30°0。