1、 力学量算符本征函数组成完全系（完备系） 2、 力学量的可能值和相应几率 3、 力学量有确定值的条件
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
组成正交归一系 ∫0 ∫0 组成正交归一系
∞
Hale Waihona Puke 2π* Ylm (θ , ϕ )Yl ′m′ (θ , ϕ )sin θ dθ dϕ = δ ll ′δ mm′
4、氢原子波函数 ψ nlm ( r,θ ,ϕ ) = Rnl ( r )Ylm (θ ,ϕ )
∫ ∫ ∫ Y (θ ,ϕ )Y ′(θ ,ϕ )r sin θ drdθ dϕ = δ 5、一维无限深方势阱（宽a）的能量本征函数
' 〈ϕ1 |ψ 3 〉 = 0 = 〈ϕ1 |ψ 3 〉 + C31 ' 〈ϕ 2 |ψ 3 〉 = 0 = 〈ϕ 2 |ψ 3 〉 + C32
得
C31 = −〈ϕ1 |ψ 3 〉 C32 = −〈ϕ 2 |ψ 3 〉
于是 ψ ' = ψ + C ϕ + C ϕ 3 3 32 2 31 1
ψ 3' ϕ3 =
1 imφ e 2π
ˆ 无穷深势阱 H ˆ 线性谐振子 H
1 nπ sin[ ( x + a )] 2a a
−
ψ n ( x) = N ne
α 2 x2
2
H n (α x )
但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一 般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点 分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。 2、 力学量的可能值和相应几率 现在我们再来讨论在一般状态 ψ(x) 中测量力学量 F，将会得到 哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。
二式相减，得
( Fm − Fn )∫ φm *φndτ = 0
若 Fm≠Fn，则必有：
∫φ
证毕。
m
* φn d τ = 0
…（2）
3、分立谱、连续谱正交归一表示式 分立谱、 （1）分立谱正交归一条件为： ）分立谱正交归一条件为：
φn *φndτ = 1 归一 ∫ ∫ φm *φndτ = 0 正交
ˆ 根据3.1节的基本假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F 的本征值λn （n = 1,2,…)之一,该本征值由本征方程
ˆ Fφn ( x) = λnφn ( x)
n = 1,2,L
确定。而每一本征值λn各以一定几率出现。那么这些几率究竟是多少呢？下 面我们讨论这个问题。 由于ϕn(x)组成完备系，所以体系任一状态 ψ(x)可按其展开：
' ' 〈ψ 3 |ψ 3 〉
对于 n>3 重简并态，同样可以正交化。
三、实例
1、线性谐振子能量本征函数 ψ n ( x ) = N n e
−∞
−
α 2 x2
2
H n (α x )
组成正交归一系 N N ∞ e −α 2 x 2 H (α x )H (α x )dx = δ n n′ ∫ n n′ nn′
ψ ( x) = ∑ cnφn ( x)
n
展开系数 cn与x无关。为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得：
∫
∗ ∗ φ m ( x )ψ ( x )dx = ∫ φ m ( x )∑ c nφ n ( x )dx n
= ∑ cn ∫ φm * ( x )φn ( x )dx
= ∑ cnδ mn = cm
∫ψ
nj
*ψnj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
正交条件有f(f f(f方程的归一化条件有 f 个，正交条件有f(f-1)/2 个，所以共有独立 方程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。 因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0， ， 所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来 ˆ 确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数 ψnj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交归一化本征函数。
ψ ( x) = ∑ cnφn ( x)
n
相应几率是：|c1|2,|c2|2,...,|cm|2,... 现在只测得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。于
ˆ 是得 ψ(x)= φm(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个本征态。
二、施密特正交化方法 例1. 能级 E 有3个简并态ψ1 ，ψ2和ψ3，彼此线性独立，但不正交。试把它 们构成正交归一的波函数。 解： 第 1 步，把ψ1归一化 ϕ =ψ1
1
〈ψ 1 |ψ 1 〉
为了简化书写，记
〈ψ i |ψ j 〉 = ∫ ψ i*ψ j dτ
第 2 步，利用 ϕ1 和 ψ2 构成 ψ 2 ，
§3.5 厄米算符的本征值与本征函数
一、厄米算符本征函数的正交性 二、施密特正交化方法 三、实例
一、正交性
1、定义：如果两函数 ψ1 和ψ2 满足关系式
ψ 1*ψ 2 dτ = 0 ∫
…（1）
式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则我们称函数 ψ1 和ψ2 相互正交。 2、定理：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 、定理：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
'
' ψ 2 = ψ 2 + C21ϕ1
使 故
' 〈ϕ1 |ψ 2 〉 = 0 = 〈ϕ1 |ψ 2 〉 + C 21
C 21 = −〈ϕ1 |ψ 2 〉
' ψ 2 = ψ 2 − 〈ϕ1 |ψ 2 〉ϕ1 于是 ' ' 再将 ψ 2 归一化 ψ2 ϕ2 = ' ' 〈ψ 2 |ψ 2 〉
第3步，令 ψ 3' = ψ 3 + C32ϕ 2 + C31ϕ1 由正交性
∫φ
m
*φndτ = δmn
…（3）
（2）连续谱正交归一条件为： ）连续谱正交归一条件为：
∫φλ *φλ dτ = δ (λ − λ′)
′
…（4）
（3） 正交归一系 ） 满足（3）或（4）式的函数系φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
4、简并情况
上面证明厄米算符本征函数的正交性时， 上面证明厄米算符本征函数的正交性时，曾假设这些本征函数属于不同本 征值，即非简并情况。 征值，即非简并情况。
证： 1. 必要性 若 F 具有确定值 λ 则ψ(x) 必为 F 的本征态。
[确定值的意思就是每次测量都为λ 。]
ˆ 根据3.1节基本假定，测量值必为本征值之一，令λ=λm 是 F 的 一个本征值，满足本征方程
ˆ Fφn ( x) = λnφn ( x)
n = 1,2,L, m,L
且测得可能值是：λ1,λ2,...,λm … 又根据本节基本假定，φn(x) 组成完备系，
证： 设
ˆ Fφn = Fφn n
ˆ Fφm = F φm m
存在
并设积分
∫φ
m
* φn dτ
对
ˆ Fφm = Fmφm 两边取复共轭，并注意到 Fm 为实数。有
ˆ (Fφm )* = Fmφm * 两边右乘 φn 后积分 ˆ ∫ (Fφm )*φndτ = Fm ∫φm *φndτ ˆ ˆ ∫ (Fφm )*φndτ = ∫φm * Fφndτ = Fn ∫φm *φndτ
ˆ 如果 F 的本征值 Fn 是 φn1 满足本征方程： 满足本征方程：
f 度简并的，则对应 Fn 有 f 个本征函数： 度简并的， 个本征函数： ,φn2 , ..., φnf
ˆ Fφni = Fnφni
i = 1,2,L, f
一般说来，这些函数并不一定正交。 一般说来，这些函数并不一定正交。 但是， 但是，可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新 函数， 且满足正交归一化条件。 函数，它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。 证明： 证明：由这 f 个φni 线性组合成 f 个新函数 ψnj