论文格式规范第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。

第二条，论文第一页为封面页（含姓名、学号、专业等），论文第二页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。

第三条，从第三页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。

第四条，论文附录至少应包括论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。

题目中提供的数据不要放在附录。

论文附录必须打印装订在论文纸质版中。

如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。

第五条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。

第六条，论文写作模板见下一页。

投资的效益和风险摘要在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。

分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投获得的总利润达到最大。

关键词：经济效益一、问题重述市场上有n 种资产（如储蓄、保险、国债、股票、基金、期货、外汇、房地产、珠宝、邮票、古玩字画、钱币及拍卖品等）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，将数额1000万的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

现对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为并预测出购买Si 的风险损失率为。

考虑到投资越分散，总的风险越小，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。

购买S i 要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易按购买计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。

（=5%）资产收益率(%)风险率(%)交易率(%)阀值(元)S 128 2.5 1 103 S 221 1.5 2 198 S 323 5.5 4.5 52 S 425 2.6 6.5 40 产或存银行生 息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

二、问题分析这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾i r i q i p i u i u 0r 0r的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。

三、模型假设1.在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。

2.在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。

即在买入后就不再卖出。

3.每种投资是否收益是相互独立的。

4.在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。

5.投资者的净收益为购买各种资产及银行的收益减去此过程中的交易费用。

四、符号说明四、模型的建立与求解在对资产Si 进行投资时，对于投资金额xi 的不同，所付的交易费用也有所不同步投资时不付费，投资额大于ui 时交易费为xipi ，否则交易费为uipi ，记ii i 0x 0u 0r ;i i ii i x x x u ϕ=⎧⎪=<<⎨⎪>⎩，；即题中所给的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际的计算中不容易处理，但我们注意到，在表1中，ui 的数值非常小，∑iu =103+198+52+40=387元，对其中最大的ui 来说，u2=198<200元，而已知M 是一笔相当大的资金，同时交易费率pi 的值也很小，即使在xi<ui 时，以ui 来计算交易费与用xi 直接计算交易费相差无几，所以，后面我们具体计算式，为简化暂不考虑ui 的约束，都已xi 来答题ui 计算交易费。

设购买i S 的金额为i x ，所付的交易费i c (i x )为0c (0x )=0。

00()0(1~)i i i i i i i i i i i x c x p u x u i n p x x u=⎧⎪=<<=⎨⎪≥⎩ (1)因为投资额M 相当大，所以总可以假设对每个i S 的投资i x ≥i u ，这时（1）式可化简为()(1~)i i i i c x p x i n == (2)对Si 投资的净收益:()()()i i i i i i i i i R x r x c x r p x =-=- (3)对i S 投资的风险:()i i i i Q x q x = （4）对i S 投资所需资金（投资金额i x 与所需的手机费i c (i x )之和）即()()(1)i i i i i i i f x x c x p x =+=+ (5)当购买i S 的金额为i x （i=0~n ）,投资组合x=(0x ,1x ,……，n x )的净收益总额0()()ni i i R x R x ==∑ (6)整体风险：1()max ()i i i n Q x Q x ≤≤= (7)资金约束：0()()ni i i F x f x M ===∑ (8)净收益总额R( x)进、尽可能大，而整体风险Q(x)又尽可能小，则该问题的数学模型可规划为多目标规划模型，即max ()min ().()0R x Q x s tF x M x ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (9)模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。

假定投资的平均 风险水平-q ，则投资M 的风险k=-q M ，若要求整体风险Q(x)限制在风险k 以内，即Q(x)<=k ，则模式（9）可转化为max ().()()0R x s tQ x k F x M x ⎧⎪≤⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (10)（1）求多目标规划模型（9）的非劣解由多目标规划理论可知，模型（9）非劣解的必要条件（Kuhn -Tucker 条件）为，存在1λ,2λ，μ>0使12()(())(())0(())0,0R x Q x F x M F x M x λλμμ∇+-∇+-=⎧⎨-=≥⎩ 问题在于如何求 （7）式给出的Q(x)的导数。

（2）求模型（10）的最优解由于模型（10）中的约束条件Q(X) ≤ k,即k x m ax Q i i ≤）（ 所以此约束条件可转化为：()(1~)i i Q x k i n ≤=这是模型（10）可转化为如下的线性规划：max ().(1)(1~)0n i i ii ni i i i i r p x s t p x M q x k i n x ==⎧-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪≤=⎪≥⎩∑∑ (11) 给定k,可方便的求解模型（11）。

具体计算时，为了方便起见，可令M=1，于是（1+i p ）i x 可视作投资i S 的比例。

下面针对n=4,M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（11）可变为：max 012340.050.270.190.1850.185x x x x x ++++.s t 012341.01 1.02 1.045 1.0651x x x x x ++++=12340.0250.0150.0550.026x k x k x k x k ≤≤≤≤0i x ≤ (0~4)i =五、模型评价与推广本文通过将风险函数转化为不等式约束，建立了线性规划模型，直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。

采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择投资方向。

六、参考文献范正森 谢兆鸿等，数学建模技术，北京，中国水利水电出版社，2003 王敏生 王庚, 现代数学建模方法, 北京,科学出版社 2006冯杰 黄力伟等，数学建模原理与案例，北京，科学出版社，2007七、附录clearf=-[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]';%目标向量A=[0,0.025,0,0,0;0,0,0.015,0,0;0,0,0,0.055,0;0,0,0,0,0.026];%不等式左端的系数矩阵aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];%等式左端的系数矩阵 beq=[1];%等式右端 lb=zeros(5,1); i=1;for k=0.001:0.002:0.05 b=[k,k,k,k]';[x,fval,exitflag,options,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb); xy(i)=-fval i=i+1; endk=0.001:0.002:0.05;plot(k,y);xlabel('k 风险');ylabel('y 收益');title('风险收益图1')%子程序二：问题二的求解clearf=-[0.05,0.075,0.153,0.434,0.224,0.005,0.106,0.351,0.281,0.309,0.339,0.067,0.033,0. 323,0.049,0.074]'; %目标向量A=zeros(15,15);a=[0.42,0.54,0.6,0.42,0.012,0.39,0.68,0.3343,0.533,0.4,0.31,0.055,0.46,0.053,0.23]; B=diag(a,0);a=zeros(15,1);A=[a,B]; %不等式左端的系数矩阵aeq=[1,1.021,1.032,1.06,1.015,1.076,1.034,1.056,1.031,1.027,1.029,1.051,1.057,1.0 27,1.045,1.076];beq=[1];lb=zeros(16,1);i=1;for k=0.001:0.05:0.65b=[k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k]';[x,fval,exitflag,options,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb);xy(i)=-fvali=i+1;endk=0.001:0.05:0.65;plot(k,y);xlabel('k 风险');ylabel('y 收益');title('风险收益图2')。