其中n为整个结构系统的单元数。显然 对于二维问题，m=2
对于三维问题，m=3
K11 K12 0 K14 0 0 0 0
K22 K23 0
0
0
0
0
K33 K34 0 K36 0 K44 K45 K46 0
0
0
K55 K56
0
K
58
K66 K67 0
K 77
K
78
K88
K11 K12 0 K14
3）半正定性
4）稀疏性
5）非零元素呈现带状分布
U
1 qt Kq 2
1 2
n i 1
n
kijuiu j
j 1
0
1 2
k11u12 k12u1u2 ...... k1nu1un
1 2
k21u12 k22u1u2 ...... k2nu1un
...... 1 2
kn1u12 kn2u1u2 ...... knnu1un
K
22
K 23
0
0
K K
33 44
K 34 K 45
0 K 46
K 0
36
K
55
K 56
0
K
58
K66 K67 0
K
77
K 78
K 88
K11 K12 K13 K14
K
21
K 22
K 23
K
24
K K
31 41
K 32 K 42
K 33 K 43
K K
34 44
根据功的互等定理，可以得到结论：刚度矩阵是对称的。
性质4：单元刚度矩阵是半正定的。 性质5：单元刚度矩阵是奇异的。 性质6：单元刚度矩阵的任意行或列代表一个平衡力系，当节点位
移全部为线位移时，任意行或列的代数和应该为0。
同样，由单元刚度矩阵所组装的整体刚度矩阵也有以下性质：
1）对称性
2）奇异性
1、左端发生单位位移，右端固定 2、右端发生单位位移，左端固定 3、发生刚体位移
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
仍然以一维杆单元为例，它的刚度方程为
k11 k21
k12 k22
u1 u2
p1 p2
1、考虑单元左端发生单位位移，右端固定情况 2、考虑单元右端发生单位位移，左端固定情况 3、考察刚体位移
第六章 有限元分析中的单元性质特征与误差处理
6.1单元节点编号与带宽存储 6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 6.3边界条件的处理与支反力计算 6.4单元刚度矩阵的缩聚 6.5为以函数构造与收敛性要求 6.6C0型单元与C1型单元 6.7单元的拼片试验 6.8有限元分析数值解的精度与性质 6.9单元应力的计算结果的误差与平均处理 6.10控制误差和提高精度的h方法和p方法
K
51
K 52
K 53
K
54
K61 K62 K63 K64
K
71
K 72
K 73
K
74
K81 K82 K83 K84
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
以一维杆单元为例，杆单元 的位移场为
形函数矩阵
u(x)a1a2 x Nhomakorabea1
x le
ui
x le
uj
Niuui N juu j
N Niu N ju
6.3边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情况下有两种类型。 1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大数法 4、罚函数法
直接法
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
置“1”法
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
qa 0
1 0
0 Kbb
qa
qb
0
Pb
qa 0
Kabqb Pa Kbbqb Pb
直接法
Kbbqb Pb
1、只能处理零约束情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列，适合于计算机处理。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
k11 k21
k12 k22
1 0
kk1211
第一种加载状态
k11 k21
k12 k22
0 1
kk1222
第二种加载状态
第一种加载状态下的外力在第二种加载状态下移动相应位移做的功为
k11 0+k21 1=k21
k12 1+k22 0=k12
第二种加载状态下的外力在第一种加载状态下移动相应位移做的功为
6.1单元节点编号与带宽存储
计算机进行有限元分析时， 需要存储所有单元和节点信 息，随着所求解问题自由度 的增大，计算规模的增大， 整体刚度矩阵的规模非常巨 大。
由于整体刚度矩阵中显现出 相邻单元之间的关联性，因 此矩阵中的大部分数据都为 零，反映非零数据的一个指 标就是带宽。
由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的自由度数目为m，则 每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽为 di=（第i个单元中节点编号的最大差值+1）＊m d=max（ di ） （i=1，2……n）
乘大数法
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
qa 0
Kabqb Pa Kbbqb Pb
直接法
M Kaa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
M
Kaa Pb
u
M Kaa qa Kabqb M Kaa u Kbau Kbbqb Pb
1、 既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
qa 0
Kabqb Pa Kbbqb Pb
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
qa u
Kaau Kabqb Pa
Kbau Kbbqb Pb
qb
K -1 bb
Pb Kbau
1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、处理过程直观。 3、待求矩阵的规模变小（维数变小），适合于手工处理。 4、矩阵的节点编号及排序改变，不利于计算机的规范化处理。
性质1：单元刚度矩阵的对角元素kii表示要使单元的第i个节点产生 单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。
性质2：单元刚度矩阵的对角元素kij（i≠j）表示要使单元的第j个节 点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点 力。
性质3：单元刚度矩阵是对称的。这可以由功的互等定理得到。对 于线弹性体，力所做的功跟加载次序无关，这可以利用上面的性 质1和2得到。