20
给定M，首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析； 径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)， E<0会回落
• L≠0不可到达r=0，
• 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0)
• 2。E<0椭圆束缚轨道
• 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
2021/3/7
10
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
2021/3/7
11
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
2021/3/7
1
课程安排
• 复习内容： • 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 • 新内容：Schwarzschild时空应用 • 下次课：经典检验 • 测验 • 发草稿纸——助教 • 课后发调查表
2021/3/7
2
测验目的
– 未解之谜：Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
2021/3/7
13
进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
2021/3/7
14
第二个活动 匀加速正交坐标系
2021/3/7
15
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
2021/3/7
16
第四点：测地线方程（组）
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
2021/3/7
12
应用 g0i 0
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐
标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
2021/3/7
18
第五点：有效势
2021/3/7
19
机械能=径向动能+有效势能（势能+ 角向动能=离心势能）牛顿情况
E T r V eff V eff V T T VC
e
mc
2
E Newton mc 2
1 e,
牛顿低速 e《1
e2 1 2
e
E Newton mc 2
2021/3/7
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高 度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（ 小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线 方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
2021/3/7
25
势能曲线的分析原理：续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从 变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来 ），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始 三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条 测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则 只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分）
2021/3/7
5
试图在球面上构造全局性
惯性系skew坐标
• Φ——测地线
• θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ'
– 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O'
– 相对于北极点O
– OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非 全局！
– 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
• 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚
(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
2021/3/7
3
改进
2021/3/7
4
‘动钟变慢’误导吗？
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟
• 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用
e,L表达
2021/3/7
23
第六点：有效势曲线分析原理
2021/3/7
2得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力 ；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运 动？答：不会－－
2021/3/7
22
微分应用：分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
径向方程
2021/3/7
17
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
2021/3/7
6
三种理论4种钟尺网格
2021/3/7
7
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
2021/3/7
8
第一个活动 惯性斜交坐标系
2021/3/7
9
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤