单级倒立摆经典控制系统摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。

本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。

关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。

它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。

控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。

1.1经典控制理论控制理论的发展，起于“经典控制理论”。

早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。

20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。

20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。

二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。

至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。

经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。

它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。

这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。

1.2倒立摆1.2.1倒立摆的概念图1 一级倒立摆装置倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。

如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。

常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，其中摆杆可能是一级、两级甚至多级。

在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。

据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等。

1.2.2研究倒立摆稳定性的意义倒立摆的研究具有重要的工程背景。

机器人行走就类似倒立摆系统。

从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等。

2单级倒立摆的数学模型2.1模型的推导原理建立控制系统的数学模型有两种基本方法。

其一，对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程，合在一起便成为描述整个系统的方程。

其二，人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。

主要用于系统运动机理复杂因而不便分析或不可能分析的情况。

系统的建模原则：1、建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。

2、按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；3、根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。

倒立摆的形状较为规则，而且是一个绝对不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型。

故适合用数学工具进行理论推倒。

2.2单级倒立摆系统描述小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。

只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。

事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。

本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。

小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。

图2 单级倒立摆系统的原理图图中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆的倾斜角。

若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。

即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。

2.3单级倒立摆系统数学建模为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设:①倒立摆与摆杆均为匀质刚体。

②可忽略摆与载体，载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力等。

2.3.1结构参数倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。

这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2所示平面内运动。

控制力u作用于小车上。

摆杆长度为2L，质量为m，小车的质量为M，小车瞬时位移为x，摆杆瞬时位置为（x+2L*sinθ），在外力的作用下，系统产生运动。

假设摆杆的重心位于其几何中心。

设输入为作用力u，输出为摆角θ。

2.3.2系统的运动方程图3 小车沿x轴的受力分析图4 摆的受力分析小车沿x轴方向的受力分析如图4所示，根据牛顿第二定律得方程⑴⑵⑶⑷为车载倒立摆系统运动方程组。

因为含有项，所以为非线性微分方程组。

中间变量不易相消。

2.4单级倒立摆系统模型的线性化处理及传递函数3单级倒立摆控制系统原理3.1线性系经统的校正方法所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。

按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为串联校正、反馈校正和复合校正四种。

根据被控对象及技术指标要求这里采用串联校正。

3.2基本控制定律确定校正装置的具体形式时，应先了解校正装置所提供的控制规律，以便选择相应的元件。

包含校正装置在内的控制器，常常采用比例、微分、积分等基本控制规律，或者采用这些基本控制规律的某种组合，如比例－微分、比例－积分、比例－积分－微分等组合控制规律，以实现对被控对象的有效控制。

比例--微分—微分（P ID）控制定律具有比例—积分—微分控制规律的控制器，称PID控制器。

这种组合具有三种基本控制规律各自的特点，其运动方程为当利用PID控制器进行串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点。

与PI控制器相比，除了同样具有提高系统的稳态性能的优点外，还多提供了一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性。

因此，在工业过程控制系统中，广泛使用PID控制器。

PID控制器各部分参数的选择，在系统现场调试中最后确定。

通常，应使I部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能；而使D部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统的动态性能。

本系统采用即为PID控制器。

3.3PID控制3.3.1.1PID控制器的结构所有的PID控制器都有可以分解成给定值控制单元，PID作用单元及手动/自动转换单元等三个主要单元，如图6所示。

图中，给定值单元①接收工业控制过程的测量量c，以及控制装置的给定值。

PID作用单元②接受给定值控制单元产生的误差信号e，并按给定控制律算出闭环控制信号。

手动/自动单元③在“自动A位置时，将PID单元的输出信号送入工业过程，此时工业过程在闭环中受到控制；而在“手动M位置时，把用户直接在控制器上调整手动输出信号送至工业过程，于是系统采用开环控制方式。

图5 PID控制器原理性结构3.3.1.2PID控制器的使用实用PID控制器的传递函数可以表示为PID单元的原理电路如图7所示。

图6 PID单元原理电路4单级倒立摆的系统控制器设计4.1系统的控制校正设计控制系统的目的是使系统动态稳定，即保持倒立摆在垂直的位置，使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化。

由于系统的动态响应主要是由它的极点位置决定的，而假如系统是状态完全能控的，即可使系统得到良好的动态性能。

我们在第2.4节中对单级倒立摆系统模型的进行了线性化并推导出了其传递函数。

本课题将采用PID控制法为系统设计控制器。

设原系统小车的质量M＝2.00kg，摆的质量m＝0.20kg，摆长2L=0.80m，重力加速度4.2利用MATLAB的系统仿真进入MATLAB的工作环境之后，通过键盘输入MATLAB命令，便可以执行相应的操作了，这与DOS的操作十分接近。

如，通过下面的MATLAB程序即可获得G (s)的单位阶跃响应及极零点分布。

（见图7）图7 G (s)的单位阶跃响应及极零点分布>> s=tf('s') Transfer function:s>> sys=tf(-1，[1 0 29.6964])Transfer function:-1----------s^2 + 29.7>>step(sys)>>pzmap(sys)4.3仿真结果的修正与分析本实验采用MATLAB软件进行仿真实验，进一步验证了PID控制器中各个参数对系统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结果中进行比较和挑选，同时根据调节时间<3s的设计要求，最后确定PID 控制器的各参数分别为：微分时间系数=1，积分时间系数T =1，比例系数K =20。

则系统的闭环传递函数为（系统的闭环传递函数的单位阶跃响应为图8）：20 s^2 + 20 s + 20------------------------s^3 + 23 s^2 + 25 s + 20图8 的单位阶跃响应结论倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论极其应用领域里引起人们极大兴趣的问题。

它是检验各种控制理论和方法的有效性的著名实验装置，作为一个高阶、非线性、不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。

本文以经典控制理论为基础，建立了小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数下的控制器使系统稳定。

本实验采用MATLAB软件进行仿真实验，进一步验证了PID控制器中各个参数对系统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结果中进行比较和挑选，同时根据调节时间<3s的设计要求，最后确定PID控制器的各参数值，通过MATLAB软件的仿真可知，单级倒立摆的经典控制可以实现。