fx k p k 1 x p x g x p k x g x
p k 1 x k p x g x p x g x
px gx,px p x,
px pxgx, 从而 p x k p x g x p x g x ,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
2、 cf x cfx;
3、 fx g x fxg x fxg x;
4、 fmxm fm1xfx.
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x
的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因
式，特别多项式 f x 的单因式不是 f x 的因
式。
证： fxpkxgx,
一、多项式函数
1. 定义：设 fx a 0 a 1 x L a n x n F x ,对
c F , 数 fc a 0 a 1 c L a n c n F称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xFx, 对
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
因式：
fxa nffx x ,fxp 1xp 2xLp sx
例1.6.1 在 Q x 中分解多项式
fx x 4 2 x 3 1 1 x 2 1 2 x 3 6
fxx22x32
例1.6.2：求多项式 f x3pxq有重因式的条件。
p0 3x 9q
2p
3x2 p
3x2 9q x 2p
x3 pxq 1 x
x3 p x
3
3
9q x p 2p
9q x 27q2
r1
x
2p 3
x
q
23pr1
x
x
3q 2p
2p 4p2
p
27q2 4 p2
1. 当 r1 x 0 时，即 p q 0,
这时f有重因式 x 3
2. 当 p 0 时，即 4p327q2 0时，
欲 fxx3pxq有重因式，
只需 p
27q2 4 p2
0,
即
4p327q2 0,
重因式是
2p 3
x
q
2
例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式
fx x 5 3 x 4 x 3 5 x 2 6 x 2
在Q上的标准分解式。
推论2：不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的
充要条件是 p x 是 f x 与 f x 的公因式。
证：必要性由推论1立得。
充分性，若p x 是 f x 与 f ' x 的公因式，则
p x 不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
定义1： 不可约多项式 p x 称为 f x 的k重因式
k N , 如果pk x f x,而 pk1x f x。 当k=1时，p x 就称 f x 的单因式，
当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。 如果 f x 的标准分解式为：
fx a n p 1 k 1x p 2 k 2x L p s k sx , 则 p1x,L,psx分别是 f x 的因式，且分别为
由定理1得：
fx p 1 k 1 1 x p 2 k 2 1 x L p s k s 1 x g x ,
故
f x ,f x p 1 k 1 1 x p 2 k 2 1 x L p s k s 1 x .
于是：
1、判别 f x 有没有重因式，只要求 f x, fx
解： f'x 5 x 4 1 2 x 3 3 x 2 1 0 x 6 ,
利用辗转相除法求得：
fx ,f'x x 2 2 x 1 x 1 2
把 f x 单因式化，得
fx f,x fx x 3 x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 由于 fx,fxx12,
故 x 1 是 f x 的3重因式，x 2 2 是 f x 的单因式，
fx a 1 2 a 2 x L n a n x n 1 （形式定义） 一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数，记为
f x
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为f x
…………
f x 的k阶导数记为f (k ) x
多项式的求导法则：
1、 fxgxfxgx;
推论3： 多项式 f x 无重因式的充要条件是
f x 与 f x 互素。
推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以 利用辗转相除法得到。
在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多 项式有没有重因式。
设多项式 f x 的标准分解式为：
fx a n p 1 k 1x p 2 k 2x L p s k sx ,
（k>1），则 p x 是 fx,f'x,L,f(k 1 )x的因式，但
不是 f (k ) x 的因式。
证： p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
p x 是f (k1) x 的（k-(k-1)=1）单因式，
因而不是f (k ) x 的因式。
k1,L , ks 重。
பைடு நூலகம்
要求 f x 的重因式，只要把 f x 的标准分解
式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项
式分解为不可约因式的乘积。
因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因 式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。
定义2：多项式 fxa 0a 1x La nxn
的一阶导数指的是多项式：
故 f x 在Q上的标准分解式为
fxx13x22
问题：多项式 f x 在 F x 中没有重因式，
f x 在 F x 中是否也没有重因式？
由于多项式 f x 的导数以及两个多项式互素
与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变，
故 f x 有没有重因式不因数域的扩大而改变。