第四节、指数函数
、初中根式的概念;
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
(一)指数与指数幕的运算
1.根式的概念
一般地，如果x" a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1,且n € N .
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n a表示。
.式子R'a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号一：a表示•正的n次方根与负的n 次方根可以合并成土：a ( a>0)。
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n0 0
思考：x a n=a 一定成立吗?
结当n是奇数时，n a n a
当n是偶数时，n a n| a |
a (a 0)
a (a 0)
(2) . x2 2xy .(x y)7=
2 •分数指数幕
正数的分数指数幕的意义 规定：
m
a n Va m （a 0, m, n N *, n 1）
-1 1 *
a n
r 尸帛
（a
°，
m,n N ,n 1）
a 7 va
0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义
指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.
3 •有理指数幕的运算性质
(1) r r
a ・a
s
a
(a 0,r,s Q)
；
(2) r s
(a )
rs
a (a 0,r,s
Q)
；
(3) r
(ab)
r s
a a
(a 0,b 0,r
无理指数幕：-般地，无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定的
实数•有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕.
对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算， 一般要将根式化为 分数指数幕，利用分数指数幕的运算性质来进行计算。
2
例2、化简（1）丰匚（旦
a 2?V
b 2
(2) 2?3a
a ?2 , x 0
x
(, a R ), 若 f[ f ( 1)] 1,则 a=(
2 x ,x 0
例 3 、已知函数 f （ x ）
例4、已知102x 25，则10- x（）
二、指数函数及其性质
（一）指数函数的概念
一般地，函数y a x（a 0,且a 1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。
注意：（1）指数函数y a x中a x的系数为1;
（2）底数a是大于0且不等于1的常数。
（3）指数就是自变量x，是变量。
例5、函数y （2a2 3a 2）a x为指数函数，求a的取值范围。
（二）指数函数的图象和性质
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质.
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
底数之间有什么样的规律？
4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?
总结：（1）指数函数对于0 a 1和a 1，函数增减性完全相反，因而在做题时, 千万不要忘记分类讨论的思想；
（2） 指数函数恒过（0,1 ）点；
（3） 对于在同一坐标系中底数不同的指数函数，在 y 轴右侧，图像从上
到下，相应的底数由大变小，而在y 轴左侧，图像从下到上，相应底数由大变小。
所以指数函数的值按逆时针的方向变大。
（4） 函数y a x 和y Q ）x 关于y 轴对称。
a
例6、a,b,c,d 是不等于1的实数，右图为分别以a 、b 、c 、d 为底的指数函数 的图像，贝U a 、b 、c 、d 四个数的大小关系为（ ）
A 、a b 1 c d
B 、b a 1 d c
1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:
1
(1)
（1）
(3)
2x 3x
(5) 5x
2 .从画出的图象中你能发现函数
1
y 2x 的图象和函数y （；）x 的图象
有什么关系？可否利用y 2x 的图象画出
y
日的图象?
3.从画出的图象（y 2、y 3x 和y 5x ）中，你能发现函数的图象与其
C 、1 abed
D abide
例 7、（1）
函数f (x)
4 a x 1恒过定点 P ,则P 点的坐标是（
)
(2) 函数f （x ） a x 1
( a 0,且a
1）的图像恒过点A ，
下列函数图象不
过
点A 的是（ )
A 、y
x B
、y x 2
C 、y 2x
1
D
、y og 2(2x)
例8、比较指数的大小（五三：p27）
画图比较:
（1）比较1.7 2.5和1.7-3的大小
比较1.703和1.50'3的大小
比较1.703和0.83'1的大小 对于三个数的比较，先两两比较，根据值的大小，一般是与0或者1作比较来分 组，再分别比较；而对于指数底数都不相同的幕比较大小， 则可以通过一些中间 值来比较。
(2) 设a 0.606,b 0.61.5,C 1.50'6，则a,b,c 的大小关系为( )
(3)已知a ,5,b 3 11,C6 123，试比较a，b，C的大小。
(三)利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
(1) 在［a，b］上, f(x) a x (a 0且a 1)值域是［f(a),f(b)］或［f(b),f(a)］；
(2) 若x 0，则f(x) 1；f(x)取遍所有正数当且仅当x R ；
(3) 对于指数函数f(x) a x (a 0且a 1),总有f(1) a ；
⑷当 a 1 时，若x i X2，则f(xj f(X2)；
1 1
例9、已知实数a,b满足等式（-）a（-）b，下列五个关系式中（1）0 b a ;
（2）a b0 ；
（3）
a<b<0;（4）b a 0 ；（5）b a 1 ;其中不可能成立
的是（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个例10、(1)解不等式（-产22
2
2
（2）求y a x 3x 2的单调区间
■■2
(3) 求y 2 x 2x3的单调区间
(4) 求y 12 2x4x的单调区间
与指数函数有关的复合函数问题。
例11、求函数y 22x 2x1 3的单调区间。