9-1设有8个码组：001001B 、001010B 、010101B 、110011B 、101011B 、101111B 、110100B 和101000B ，试求它们的最小码距。

解 码距（码组的距离）是指两个码组中对应位上数字不同的位数。

最小码距d 0是指某种编码中各个码组之间距离的最小值。

该编码的最小码距d 0=1
9-2已知一个(7，3)码的生成矩阵为100111001001110011101G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，试列出其所有许用码组，并求出其监督矩阵。

解 (1) 所有许用码组
由生成矩阵G 可以产生所有许用码组: 例如，当信息码为
[]654[010]a a a =
可得相应的码组为
[]10011100010100111[0100111]0011101⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
同理可得其它许用码组。

所有许用码组列表如下：
0000000100111000111011010011
010011111010010111010
1110100
(2) 监督矩阵
本题中给出的生成矩阵G 是典型阵，即
10011100100111[]0011101k G I Q ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
其中
111001111101Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
所有
T 101111110011P Q ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
监督矩阵
10110001110100[]11000100110001r H PI ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
9-3已知一个(15，11)汉明码的生成多项式为g (x ) = x 4 + x 3 + 1，试求其生成矩阵和监督矩阵。

解 生成矩阵为
141310131291211811107
1101096
29985874
763
6525443()()()()()()()()()1k k x x x x x x x x x x x x x g x x g x x x x x g x x g x G x x x x xg x xg x x x x g x g x x x x x x x x x x x x --⎡++⎢++⎢⎢++⎢⎢++⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥++⎢
⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥===++⎢
⎢⎥⎢⎥⎢++⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥++⎢⎣⎦⎣⎦⎢++⎢++++⎣ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦
或
110010000000000011001000000000001100100000000000110010000000000011001000000000001100100000000000110010000000000011001000000000001100100000000000110010000000000011001G ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦
⎥
典型化
100000000001100010000000000110001000000000011000100000001100000010000001010[]000001000100101000000100001110000000010000111000000001001111000000000101011000000000011001k G I Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
所以
T 10011010111110101111000110101111000110101111P Q ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
监督矩阵
10011010111100011010111100
0100[]011010111100010001101011110001r H PI ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
9-4设一个(15，7)循环码由g (x ) = x 8 + x 7 + x 6 + x 4 +1生成。

若接收码组为T (x ) = x 14 + x 6 + 1，试问其中有无错码。

分析 循环码的任一码多项式都可以被生成多项式g (x )整除。

若码组在传输中没有发生错误，则接收码的多项式必定能被g (x )整除；若码组在传输中发生错误，则接收码的多项式被g (x )除时可能除不尽，而有余式。

解 因为
1468
764
()1()1
T x x x g x x x x x ++=++++= 753653
876411x x x x x x x x x x ++++++++++ 余式
75310x x x +++≠
所以接收码中有错误。

9-5已知k = 1, n = 2, N = 4的卷积码，其基本生成矩阵为g = [11010101]。

试求该卷积码的生成矩阵G 和监督矩阵H 。

解 其截短生成矩阵为
11234112311121100011010101110101001101011I Q Q Q Q I Q Q Q G I Q Q I Q ⎡⎤
⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
式中1I 为一阶单位方阵，i Q 为1×1阶矩阵，即
12341,1,1,1Q Q Q Q ====
生成矩阵G 是一个半无穷矩阵，其特点是每一行的结构相同，只是比上一行向右退后2列（因
现在n =2）。

由G 1很容易写出G 。

110101010001101010000011010000000110G ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为T
i i P Q =，对于一阶矩阵来说，转置即其自身不变。

所以截短监督矩阵为
1
1211
1321143211000000P I P P I H P P P I P P P P
I ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦= 11101110101110101011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
同理，由截短监督矩阵H 1很容易写出监督矩阵H 为
11101110101110101011H ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
9-6已知一个(3, 1, 3)卷积码编码器的输入码元序列为{a k }，第i 个输出的监督序列为b i = a i ；c i =
a i + a i-2；d i = a i + a i-1 + a i-2。

试画出该编码器的电路方框图、码树图和网格图。

当输入序列为0101011B 时，试求其输出码元序列。

解 电路方框图如图9-4所示
图9-4 一种(3, 1, 3)卷积码的编码器
{a k
(2) 码树图如图
输入信息位为“0”，则状态向上支路移动；输入信息位为“1”，则状态向下支路移动。

(3) 网格图
虚线表示输入信息位为“0”时状态转变的路线；实线表示输入信息位为“1”时状态转变的路线。

000c 4d 4e 4 c 3d 3e 3
上 半 部
下 半 部
a b c d
a
b
c
d
(4) 输出码流：当输入序列为0101011B时，输出为
000 111 001 100 001 100 110。