利用投影法巧解数量积 片断教案
（ 人教版 第二章 第四节）
广东实验中学
该片断的教学目的、内容分析：
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既有大小又有方向，是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。

数量积是向量这一章的重要内容，它把形转化为数。

同时它也是高考的热点内容。

考题的设置由求定向量的数量积向动向量数量积的最值或范围转化，难度越来越大。

考题多以小题出现，我们希望不仅做对还要做的快，因此，方法的选择是关键。

对于数量积的计算，课本重点介绍了（1）利用定义,cos θ=⋅（2）建立适当的在直角坐标系后利用2121y y x x +=⋅去转化。

解题时，前者需要知道向量的长度和夹角，有时不能直接用，后者需要知道坐标和准确的运算，而这些往往是命题者设置障碍的关键点。

事实上，数量积具有几何意义，b a ⋅a b 在θ的乘积。

利
用几何意义解题，θ看成一个整体，θ两个未知量的信息用一个未知量“投影”代替，实现了降元的目的，简化运算。

这是把数→形的过程，可以揭示变化图形中数量积不变性的本质，形象直观。

可惜，课本和其他资料上对这一部分的介绍篇幅不长，一带而过。

学生对这一方法的认识也多数停留在投影的概念和数量积几何意义形式本身，应用投影法解题不多。

纵观近几年高考题，如果能合理利用几何意义（投影法）求解数量积，会大大简化运算，提高速度！ 本片段教学的核心，是介绍求数量积还有一个重要方法——投影法。

希望学生能理解它的原理并会运用。

特别是在处理动向量的数量积时，无论定值还是最值借助投影去转化，形象直观又简化运算。

教学中我们先通过一个例题入手，对比三种方法（定义法，坐标法，投影法）求数量积。

再由特殊到一般，解决动变量模长变化，夹角θ也变化的条件下求数量积最值的问题，应用投影法更体现其的优越性。

最后小结：1投影法的本质；2投影法适用的题型；3选择哪个向量向哪个向量作投影；4注意：投影有正负。

该片断教学的重点和难点：
重点：理解及掌握投影法解数量积，体会此方法的优越性。

难点：掌握投影法适用的题型，把数量积的最值转化成投影的最值。

2
2
1
120
cos
:
a
a
a
AF
AB
D
-
=
⋅
⋅
=
⋅
所以，选A .
5 3
..
..
A A
B A
C B AB AD
C AB AE
D AB AF
⋅⋅
⋅⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
(1)引导同学们关注这两种办法运算量
都偏大，是否还有更快捷的方法？
(2)引导学生观察四个选项，有共同的
AB,回到定义上，就含有相同的AB,
因此，比较数量积的大小转化为比较
另一个向量的长度和夹角余弦的乘积
大小即可。

引出投影。

(3）幻灯片播放:
投影:
数量积的几何意义:
板书：当θ,b未知时，把θ
cos
b看
成一个整体去处理。

即把二元→一元，实现了降元。

（2）复习投
影、数量积的
几何意义，理
解投影法的
本质。

6 １3投影法：教师用幻灯片同步展示过程
分别过B,C,D,EF点向AB所在直线作
垂线，如图。

可知：
显然，
1
AC最大．所以，选A .
师：请同学们对比一下三个方法，体
会投影法的优势。

（1）用投影
法再做一次。

（2）优势：
数形结合，直
观明了，不需
要计算。

7 3 变式：如上图，M是正六
边形ABCDEF内的一动点，
则M在什么位置时，
AM
AB⋅取最值？
从特殊到一般，从定向量到动向量拓
展。

（1）引导学生关注在M运动的过程
中哪些量改变，哪些没变。

（2）当,
AMθ
u u u u r
都未知时，怎样处
理？
观察本题，回
答AB
u u u r
的长
度不变，
,
AMθ
u u u u r
变化
时，把
，
上的投影为
在
1
AC
B
A
AC
，
上的投影为
在AB
B
D A
A
，
上的投影为
在0
B
E A
A
.
AF
B
F
1
-
上的投影为
在A
A
方向上的投影
在
称为
把a
b
bθ
cos
⋅
的乘积
投影
方向上的
在
与
的长度
等于
θ
cos
b
a
b
a
a
b
a⋅
此时数量积最大。

为投影最大点时，运动到当的投影
方向上在.,cos 1AC C M AB AM AB BAM
AM AB AM
AB ⋅=∠=⋅（一定一动两个向量数量积的最值）
（3）板书：把数量积的最值转化为投影的最值。

播放幻灯片展示AM 在⋅AB 方向的投影，同时提醒注意正负的问题。

板书学生★答案★
cos AM θ
u u u u r
看成一个整体处理。

共同总结：当一个向量模长已知，数量积取最值时即为另一个向量在此向量方向上投影取最值时。

给出本题★答案★
8 1
小 结
（1）数量积把形→数，而投影法又把数→形，数形结合，形象直观。

（2）当夹角未知，至少一个向量模长未知时可以用投影法；
（3）投影法的本质：从定义出发把
θcos b 看成一个整体用“投影”代
替，降元，简化运算.
师生共同完成
结束语：数缺形时少直观，形缺数时难入微！
------华罗庚
数数形形，形形数数，乃数学本质也！。