材料力学
§2
惯性力问题
动载荷
2、等角速度旋转的构件
•旋转圆环的应力计算 一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁 厚为t。 解：等角速度转动时，环内各
qd
an
D o
t
o
点具有向心加速度，且D>>t 可近似地认为环内各点向心 an 2 D / 2 。 加速度相同， 沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度 q d 为：
圆环横截面上的应力：
式中 v D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：
2
d
材料力学
v 2
g
[ ]
§2
惯性力问题
动载荷
•旋转圆环的变形计算
D ， 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 则其直径变化 D D D ，径向应变为
t D ( D D) r t D D E d v 2 D
式中 k d 为冲击时的动荷系数，
2
kd st
2H kd 1 1 st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
因为
Pd d d kd Q st st
所以冲击应力为
d k d st
2H 当 110 时，可近似取 k d st
2 H ，误差<5%。 st 2 H ，误差<10%。 st
4、 k d 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 st 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。
材料力学
§3
冲击问题
•作为静力平衡问题进行处理。
材料力学
§2
惯性力问题
动载荷
例2-1 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料 比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。 解：将吊索在x处切开，取下面 部分作为研究对象。 Fd ( x) 作用在这部分物体上的外力有： m m 重物的重量：Q； Ax x段的吊索重量：Ax， Ax x x a a Ax g 惯性力为：Q a， a
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
•计算冲击问题时所作的假设： 1、在整个冲击过程中，结构保持线弹性，即力和变 形成正比。
2、假定冲击物为刚体。只考虑其机械能，不计变形能。
3、假定被冲击物为弹性体。只考虑其变形能，不计机 械能（被冲击物质量不计）。 4、略去冲击过程中的其它能量损失，如塑性变形 能、热能等。
吊索中的动应力为：
Ax Q st Aa 代入上式，并引入记号K d 1 ，称为动荷系数，则： g
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：
d st K d
材料力学
§2
惯性力问题
动载荷
于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
d max ( st ) max K d [ ]
材料力学
§3
冲击问题
2 M nd L 1 J 0 2 2GI p 2
动载荷
由 T U 得：
解得：
M nd
所以轴内冲击应力为
J 0 2GI p L
M nd d m ax Wp
2 J 0G AL
材料力学
J 0 2GI p LW p
2

J 0GI p LW p
2
（与体积V=AL有关）
动载荷
Hale Waihona Puke 例3-1求等截面直杆冲击时的拉伸应力。
Q L H
已知：等截面直杆长度为L，截面积为A， 杆件材料的杨氏模量为E，重物Q从高H处 自由落下。
解：静应力和静伸长分别为
Q QL st st ， A EA
动荷系数为
kd 1 1 2H 2 H EA 1 1 st AL
甚至降为零，冲击物得到一个很大的 负加速度a，结构受到冲击力的作用。
受冲击 的构件
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
根据能量守恒定律，即
T V U
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能； U :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。
强度条件为
d max kd ( st ) max [ ]
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的 问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静 载荷，静应力，静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系 数，即
d K d st Pd K d Pst d K d st d K d st
通常情况下，K d 1 。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
•关于动荷系数 k d 的讨论:
1、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由v 2 2 gH 可得：
v2 kd 1 1 g st
2、当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时k d
2 。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
2H 3、当 10 时，可近似取 k d 1 st
而
(a)
Pd L3 d 3EI
材料力学
(b)
§3
冲击问题
动载荷
将(b)代入(a)式：
1 Q 2 1 Pd L3 v 2g 2 3EI
解得：
2
3EIQv 2 Pd Q 3 gL
式中
v2 QL3 g 3EI
QL3 st 3EI
表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向 以静载荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。
动载荷
动载荷
材料力学
动载荷
§1
概述
材料力学
§1 概述
动载荷
静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始 缓慢地增加到某一定值不再随时间改变。 动载荷：使构件产生明显的加速度的载 荷或者随时间变化的载荷。
材料力学
§1 概述
动载荷
动载荷问题分为三类：1.一般加速度问题； 2.冲击载荷； 3.振动问题
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
根据假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来 分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H处 落下的作用，计算冲击应力。
Q Q H Q
H
H
A B 弹簧
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
一、竖直冲击
Q H Q Q
设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后， 速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 大值 d 。
d 2 st d 2 H st 0
解得：
d st st 2 H st
式中“+”对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最 高位置。所以取正值。 即
2
d st st 2 H st
2
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
d st st 2 H st 2H st (1 1 ) st
Q H
如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为 k，此时梁中点处的静挠度将变为
A
L/2 L/2
B
k
QL3 1 Q/2 st 48 EI 2 k QL3 Q 48 EI 4k
即 st 增大，动荷系数 k d 下降，使 d max 下降，此即弹簧的缓冲 作用。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
D D
所以
v 2 D D D D(1 ) gE
由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。
E

Eg
材料力学
动载荷
§3
冲击问题
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
•冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（冲
击物）作用的时间很短，冲击物的速
v
Q
a
冲击物
度在很短的时间内发生很大的变化，
d
此时，全部（动）势能转化为变形能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就 以此时来计算：
•释放出的动能（以势能的降低来表示）
弹簧
T Q( H d )
•增加的变形能，在弹性极限内
材料力学
1 U Pd d 2
§3
冲击问题
动载荷
根据力和变形之间的关系：P d k d P
Pd P ：冲击物速度为0时，作用于杆之力。 d
冲击应力为
d k d st
材料力学
Q Q 2 2 HQE ( ) A A AL
§3
冲击问题
动载荷
例3-2
求等截面简支梁受冲击时弯曲应力。
已知：梁的抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为W。在梁的中点处受到 重物Q从高H处自由下落的冲击。 Q 解：梁中点处的静挠度为
动荷系数
QL3 st 48 EI
§3
冲击问题
动载荷
如果飞轮转速 n=100r/m，转动惯量 J0=0.5kN· m· s2， 轴直径 d=100mm，G= 80GPa，L= 1m，此时：
d max
2 J 0G AL
100 60
2 0.5 10 3 80 10 9

4
(0.1) 2 1
528 MPa
材料力学