上海中学数学2014年第3期
柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明
柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。
1‘是基本
百鬲、百7
而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。
6，+口：6：+a。
63)2揭示了任意两组数组即(n。
，n。
，n。
)、(6，，6。
，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。
，以。
)、(6。
，6：，6。
)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略．
1一次与二次
例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2，
可知n。
+462+9c。
≥婺一12，即最小值为12．
例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——．
解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而．
例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得
[4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2
号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2
≥一5≤z+y+z一2≤5．
．‘．一3≤T+y+z≤7．
故T+y+z之最大值为7，最小值为一3．
评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效．
2整式与分式
2．1两组数组对应的数分别为倒数型
例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]．
(1)求m的值；
(2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9．
解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m，
由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)，
又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1．
(2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R，
由柯西不等式得
Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐
评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。
)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型
例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专．
V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式
(惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．
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上海中学数学2014年第3期
用法向量夹角求二面角大小的教学设想
213131
江苏省奔牛高级中学
冯刚张仁端
在苏教版高中数学选修教材2—1(以下同)中，用法向量的夹角来求二面角的大小．教材这样总结方法：
“由于平面的法向量垂直于平面，这样，这两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角．考虑到二面角的取值范围是[o 。
，180。
]，所以二面角的平面角臼与这两个平面的法向
证法2：利用均值不等式
了}夏+寺‘y+2z)≥亏z ；
同理：i 菩万+告(z+2z)≥詈j ，；
}辜毛+告(z+2y)≥号2，三式相加即证．
评注：涉及到分式出现的题型，解答时，要有把分式转化到整式去的意识，若能抓住这种关系则无疑抓住了问题的突破口．
例6
已知正数&，6，c ，幻c 一1，求证：≯南
+赢b+瓦‰≥导．’63(n+c )l
f 3(a+6)
72’
证：即证：年≥+孟每≥+荔擘≥≥詈．
叻十凹曲十∞凹十∞Z
(蔫+
二‰+耋‰)c 曲+凹+幻+
I 面+凹‘面+葩。
凹+知)…～1～1
6c+凹+＆)≥(6c+∞+幻)2，
．．『志+志+志]c 面+
一l 以3(6+c)l
63(盘+c)’c3(口+6)l 、～
∞+幻+＆+∞+斑)≥(葩+∞+面)2，
．．左式≥昙(面+∞+幻)≥丢．3Z 丽一导．
评注：分式出现的题型若出现分子的次数比分母低，尽量创造条件变形让分子的次数比分母高，这样就便于运用柯西不等式把分式转化为整式．
3
无理与有理
例7
已知z+y+z 一19，求证：~／孑可+
、，厕+正骊≥机西．
证法1：设扰一√7了i +／尹了百+、压FF 而，
+．．～历F 百析可≥z+2n ，
以F 阿川了孑≥y+3丑，
量的夹角相等或者互补．”
两者到底在什么情况下相等，在什么情况下互补?十分遗憾，教材没有交待，留下了悬念．但是在教材的例题(如本文例1)和习题(如本文例2)中都要求二面角的大小(显然这样的要求不合理)．于是教材的例题解答不能令人信服，师生在解答这类问题时没有
~／22+16盘~／1+丑2≥2+4垃，
．。
．~／1+口2“≥19+9n ．
当且仅当z 一呈，y 一羔，2：÷，又由z+y+
Q
z
5
1净口一南
19+器
一．‘．税≥_==兰一~／442．
√1+(南)
证法2：‘．’}葛}+}葛}+}葛}≥}葛+葛+葛}，
．．令者一(z ，2)，葛=(y ，3)，者一(2，4)，
则左式≥~／(z+y+z)2+(2+3+4)2=
√192+92一√442．
评注：有理和无理是一对矛盾的统一体，它们既是对立的，又是统一的，因此在一定的条件下可以相
互转化．一方面，把柯西不等式∑口；∑62≥(∑ai 6，)2两边开根号，可以得到一个无理形式的
柯西不等式，其中右边是整式，利用这个关系就能实现从无理到有理的跨越；另一方面，从结构上来分析，这两个数组其实可看成两个空间向量的坐标，这样就容易联想到距离问题，因此也可以考虑构建几何模型利用三角不等式解决．
柯西不等式虽然只是新课程教材的选修内容，但近几年以柯西不等式为背景的试题，已悄无声息地进入高考试题(不是自选模块试题)中．灵活运用柯西不等式求解一些高考题可以省去许多繁杂的运算，解法优美，事半功倍，对提高学生的解题能力大有裨益．因此让学生熟悉柯西不等式的呈现形式以及掌握相应的解决策略是非常必要的．。