y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t＝2s 时的速度.
解: ∆ 因为 2 s = 5 ( 从 而
+ ∆ t)
2
∆s =20+5∆t ∆t
− 5 × 2
2
= 20 ∆ t + 5 ∆ t
2
所以
∆s s′(2) = lim = lim (20 + 5∆t ) = 20 ∆t →0 ∆t ∆t →0
2
∆f 1 = 4 + 2∆x + × ∆x 2 从而 ∆x 3
所 以 点P处的切线的斜率是4. 点P处的的切线方程
8 y − = 4 × (x − 2) 3
∆f 1 f ′(2) = lim = lim (4 + 2∆x + × ∆x 2 ) = 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 3
即直线
16 y = 4x − 3
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.
9 练习1、求曲线 y = 在点M(3,3)处的 x
切线的斜率及倾斜角． 斜率为-1,倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y = 2 x 在（1，-）处 2
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
1 有,切y =x− 2
线的 注: 学了导数的运算后, 方程 为 此类题有更简单的解法.
f ′( x 0 )是求函数 y = f ( x )在 x = x 0处的导数
例1、如图，它表示跳水运动中高度随时 间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2 附近的变化情况。 h
l0
l1
t
o
t4 t3 t0 t1 t2 l2
解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线， 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。 (1) 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行 于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有下降.
f ′(0.8) ≈ −1.5
求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是： (1)求函数的增量 ∆y = f (x0 + ∆x ) − f (x0 ) (2)求平均变化率 (3)取极限,得导数
∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆x ∆x ∆y f ′ ( x 0 ) = lim ∆x→ 0 ∆ x
例2、如图，它表示人体血管中药物浓度 c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min) 变化的函数图象。根据图象，估计t= 0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1)
c(mg/mL) 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2
如果将x0改为x,则求得的是 y = f ′(x)
y = f ′(x) 被称为函数y=f(x)的导函数.
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都 f / ( x )，从而构成 对应着一个确定的导数 / f / ( x) 了一个新的函数 f ( x) 。称这个函数 为函数y=f(x)在开区间内的导函数 导函数，简 导函数 / 称导数 导数，也可记作 y ，即 导数 / / f (x) ＝ y
PQ无限靠近切线PT
k PT = lim k PQ
∆x → 0
∆y = lim ∆x→ 0 ∆ x
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率． 相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
1 3 例4、已知曲线 y = x 上一点 3
8 P 2 , 3
求：点P处的切线的斜率； 点P处的的切线方程． 解:
1 x 点P处的切线的斜率即 y = 3
3
在x=2处的导数.
1 1 3 3 因为 ∆f = (2 + ∆x) − × 2 3 3
1 = 4∆x + 2∆x + × ∆x 3 3
t(min) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
Байду номын сангаас
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。
作t=0.5处的切线,它的斜率约为0
f ′(0.5) ≈ 0
所 作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5 以, 所 以, 因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时 变化率分别为0和-1.5.
数学：导数的几何意义 课件ppt人教A版(选修11)
第三章 导数及其应用
y = f (x)
y
Q Q Q P T
o
x
y
y = f (x)
相交
o
P
x
再来一次
直线PQ的斜率为
k PQ = yQ − y P xQ − x P ( y0 + ∆y ) − y0 ∆y = = ( x0 + ∆ x ) − x0 ∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆y = lim ＝ lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
小 结:
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率． 相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：