1.问题重述大气是指包围在地球外围的空气层，是地球自然环境的重要组成部分之一。

人类生活在大气里，洁净大气是人类赖于生存的必要条件。

一个人在五个星期内不吃饭或5天内不喝水，尚能维持生命，但超过5分钟不呼吸空气，便会死亡。

随着地球上人口的急剧增加，人类经济增长的急速增大，地球上的大气污染日趋严重，其影响也日趋深刻，如由于一些有害气体的大量排放，不仅造成局部地区大气的污染，而且影响到全球性的气候变化。

因此，加强大气质量的监测和预报是非常必要。

目前对大气质量的监测主要是监测大气中2SO 、2NO 、悬浮颗粒物（主要为PM10）等的浓度，研究表明，城市空气质量好坏与季节及气象条件的关系十分密切。

附件给出城市A 、B 、C 、D 、E 、F 从2003年3月1日至2010年9月14日测量的污染物含量及气象参数的数据。

请运用数学建模的方法对下列问题作出回答：1.找出各个城市2SO 、2NO 、PM10之间的特点，并将几个城市的空气质量进行排序。

2．对未来一周即2010年9月15日至9月21日各个城市的2SO 、2NO 、PM10以及各气象参数作出预测。

3．分析空气质量与气象参数之间的关系。

4．就空气质量的控制对相关部门提出你的建议。

2.问题分析本题为生活中的实际问题，层层递进式提出四个问题，分别需要对空气污染因素以及气象参数进行分析求解。

第一问为评价性问题，先从城市内部个污染物特点出发，再到城市之间空气质量进行比较。

第二问是预测性问题，通过对给出的数据进行分析，预测各项参数之后的趋势。

第三问是寻找关联性问题，要求找出空气质量与气象参数之间的关系。

第四问为开放型问题，可通过之前得出的结论或者相关文章及模型提出建议。

2.1 问题1通过查阅资料，运用已有的API 对各个城市的各项污染指标进行计算，得出各个污染指数API 月平均的折线图，观察，得出各城市各项指标的特点。

鉴于求解城市API 时有一定的误差，故选择综合评价模型，对数据进行标准化处理之后，确定动态加权函数，对模型进行求解，排名。

检验模型后确定结论的合理性。

2.2 问题2预测模型主要有灰色预测，时间序列等模型。

由所给数据以及问题可知该预测模型为时间序列。

随机选取气象参数之一气温（tem ）为例进行分析，先通过SPSS 软件得到其时序图，观察其走势，对其做平稳化处理。

然后以最小BIC 为标准，构造模型，进一步应用SPSS 软件求解，得出各项参数，并预测出2010年9月15日至2010年9月21日的数据。

其余各城市各污染物浓度以及气象参数应用类似方法进行求解。

最后，由于F 城市所提供数据与需要预测日期相隔较远，故只做出定性的分析预测。

2.3 问题3空气污染物与气象要素关系密切，研究的方向多为相关性分析与回归分析或从理论上描述气象要素对污染物迁移扩散的影响。

但是回归分析应用于处理不相关变量之间关系，而典型相关性分析能很好地解决由于变量之间相关而导致回归准确性降低的问题。

并且观察原始数据发现，其中只有一组气象参数，故猜测气象参数是在其中某一个城市所采集。

现应用典型相关性分析分别分析A 、B 、C 、三城市空气污染物2SO 、2NO 、PM10与气象要素这两组数据间的关系。

求出不同季节的相关系数，判定气象参数最有可能是属于哪一城市的。

再对该城市进行偏相关性分析，最终得出污染物与气象参数之间的关系。

该过程由SPSS 直接完成。

2.4 问题4依据第三问所求得的气象参数和与其对应城市之间的关系，分析影响各污染物浓度的主要因素，依此对有关部门提出合理的建议，以提高该城市的空气质量。

3.数据处理对附件中数据整体浏览，将不合理的数据进行删除：2005年11月7日的tem 为611.5，2010年6月6日的mmgh 为267.109，依据常识，该两组数据均为记录错误，故删去不予考虑 3.1问题1对各项指标的数据进行月平均处理.以便进行模型的计算。

3.2问题2基于数据的不完整性，只选择具有连续性的数据（2010年1月20日至2010年9月20日）对问题二进行分析预测。

3.3问题3，4将一年分为春季季风季（3-5月）和冬季采暖季（11-2月）两部分，分别进行分析。

4.模型基本假设1、 各组数据真实可信，且是在同一地点同一时间采集，不考虑人为因素，具有统计、预测意义。

2、 假设A 、B 、C 、D 、E 、F 六个城市的发展状况相同，即发展速度没有明显差异。

3、 API 指标真实可靠，所给数据具有参考统计意义。

4、月API 平均值能很好的代表该月空气质量，具有比较意义。

5、对F 城市进行定性预测时，A 、F 城市发展状况基本相同，有比较价值。

6、第三问中，灌输数据的对应关系，假设气象参数是在A 、B 、C 三城市中某一个城市所采集。

5.符号说明,)m6.模型的建立与求解6.1 问题16.1.1问题一第一部分通过查阅资料，可以找到API，即空气质量污染指数标准，由此计算每个城市各项指标的月API平均值，对各项数值进行比较，得出各个城市三项指标特点。

6.1.1.1各项指标月API平均值求解根据表一：计算各项指标的API 值：设I 为某污染物的污染指数，C 为该污染物的浓度。

则：()I II C C I C C -=-+-大小小小大小式中： C C 大小： 在API 分区表中最接近C 值得两个值 I I 大小：在API 分区表中最接近I 值得两个值 6.1.1.2各城市各项指标月API 平均值折线图图一：各城市各项指标月API 平均值折线图6.1.1.3结果分析整体分析图表可以看出A 、B 、C 、D 、E 五个城市SO2、NO2、PM10等污染物浓度均呈现波动性并且有缓慢下降趋势。

分析A 城市数据，发现A 城市PM10浓度与B 城市差别并不显著，但是观察发现A 城市PM10的值在2010年8月后有所回升，这一点也可由数据得到验证。

B 城市SO2波动性很强，但是下降的趋势并不是非常的明显，说明B 城市可能有一些周期性的污染源需要治理。

而B 城市的PM10波动性强有明显下降趋势，这说明B 城市很有可能在2010年采取过一些相应的积极措施，使得该城市PM10浓度在短期内大幅度下降。

而A 、B 两城市的SO2和PM10数值均明显高于NO2的数值，且两城市污染物的波动方式相似，可粗略认为A 、B 两城市有部分工业或者结构上的相似。

分析C 、D 两城市可知SO2、NO2、PM10浓度较平稳波动，只有PM10在个别时段有较大的起伏，而在其他时间序列内均趋于平缓变化。

C 、D 两城市的PM10曲线在同一时间明显偏高，可推论在那一段时间有某些外界因素使得两个城市的PM10数值共同上升。

分析E 城市空气污染物浓度可知，E 城市SO2、NO2、PM10浓度均在一定范围内平稳变化 ，说明该城市在所选时间段内空气质量比较平稳。

由于F 城市数据严重不足，只有从2004年9月1日到2009年12月27日的采集数据，故在F 城市数具有统计意义的前提下，由图可知观看出F 城月平均污染物浓度大致呈现平稳趋势。

6.1.2问题一第二部分根据问题对API 分析发现，对于城市API 值计算中，原理为取三项指标的最大值，这会造成相应的误差，故在分析第一问的第二部分时，只参考API 的划分标准，应用综合评价模型。

6.1.2.1数据的标准化处理对所给的空气污染标准（API ）进行标准化处理，记三项指标：2SO 、2NO 、PM10的数值分别为1x ，2x ，3x 。

三项指标的数据均为极小型指标（即指标值越小越好），对其指标jx 做标准化处理，即令：'(1)j j j j jx m x j m M m -=≤≤-其中1min{}j ij i nm x ≤≤=，1max{}j ij i nM x ≤≤=。

则相应的指标值变为'{}[0,1]ij x ∈，即为无量纲的标准化指标，对应的分类区间()()[,)j j k k a b 也随之相应的变化，在这里为了方便仍记为()()[,)j j kk a b (1,2;1)k K j m =≤≤。

（1）2SO 的标准化取10m =，1 2.62M =，'11 2.62x x =，则其标准化数据为：'()1[0,1]k i x ∈ 对应的分类区间为：(](](](](](]()0,0.01908,0.01908,0.05725,0.05725,0.30534,0.30534,0.610687,0.610687,0.801527,0.801527,1,1,∞（2）2NO 的标准化取20m =，20.94M =，'220.94x x =，则其标准化数据为：'()2[0,1]k i x ∈ 对应的分类区间为：(](](](](](]()0,0.0851,0.0851,0.12766,0.12766,0.29787,0.29787,0.601064,0.601064,0.79787,0.79787,1,1,∞（3）PM10的标准化取30m =，30.6M =，'330.6x x =，则其标准化数据为：'()3[0,1]k i x ∈ 对应的分类区间为：(](](](](](]()0,0.08333,0.08333,0.25,0.25,0.58333,0.58333,0.7,0.7,0.8333,0.8333,1,1,∞6.1.2动态加权函数确定根据这一实际问题，通过对2SO 、2NO 、PM10三项指标的变化关于空气质量的分析，可得其变化的规律为：先是缓慢增长，中间有一个快速增长的过程，最后平缓增加趋于最大值。

此增长规律可取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即：2()1()0,j j x j j j e x w x x ασαα--⎧⎪->=⎨⎪≤⎩，当时当时其中j α不妨取指标j x 的第一类空气质量标准的中间值，即()()111()2j j j b a α=-，jσ由()4()0.9(1)j j w j m α=≤≤确定。

6.1.3综合评价模型的构建根据标准化后的评价值，不妨仍用i x 表示，以及相应的动态加权函数()(1,2,)j w x j m =，建立综合评价模型来对被评价的6个城市的空气质量进行评价，在此，取综合评价模型为个评价指标的动态加权和，即：1()j mj j j X w x x ==⋅∑其函数值X 为被评价对象的综合指标值。

求出权后，可将6个城市的三项指标求期望，定量地得出每个城市中三项指标的权值。

利用附件中给出的31个月的较为完整的数据，计算可得ABCDE 五个城市的空气质量评价性指标，即可得到一个综合评价矩阵531()ij X ⨯，其结果如下：ABCDE10.4764250.3034380.6987870.3025690.40188720.3814910.4989850.5563590.3591340.49755630.702262 1.28647 1.4847060.822486 1.36338340.92970.687311 1.528822 1.206963 1.234135 1.373017 1.920787 1.269957 2.55766 1.41813760.877467 1.3154380.928815 1.470042 1.00162170.2717820.915160.7509460.6682370.3790380.686075 1.0585760.7892710.8510670.8055939 1.0637050.341397 1.043505 1.067541 1.027358100.5641210.2177480.7368110.4828380.878122110.3140580.356610.110280.6601730.296628120.4358230.593150.0831480.9702070.782054130.5015830.7723060.5023270.7664940.647517140.2844650.3008340.1823680.3075140.650854150.2359340.0946310.0513890.1260330.17728160.3989590.2932230.1307230.3720760.427288170.4244510.5050050.2630.5233190.446048180.4583630.5407730.2326420.4924520.261007190.4569190.2214360.0336830.1401790.307473200.4460590.355020.2940020.1979430.135436210.8682740.6256850.206786 1.1649870.963372220.834579 1.3243650.775048 1.953669 1.411269230.4032060.6072390.491127 1.028786 1.024163240.2802250.2928260.3020210.5281110.631015250.3417580.2738460.4233430.7139290.660584260.3084620.3776460.2340130.4308490.377989270.3803150.0909870.2555490.5380020.345346280.3136840.257940.2598550.5351640.174778290.3511240.2870370.4337940.5403330.445141300.2283740.0541590.3776450.1071610.121265310.3466380.0564420.5569440.1889230.296768表二：ABCDE 五个城市综合评价矩阵同时，利用附件中给出的4个月(2004.9至2004,12)的数据，经计算可得ABCDF 六个城市的空气质量评价指标，得到矩阵54()ij X ⨯，结果如下。