内蒙古呼伦贝尔市2020年普通高中第一次统考理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =A ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，2．复数A. iB.C.D.3.在△ABC 中， 则= A ．31 B ．31− C ．21− D ．21 4.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB 的斜率为A.2±B.2−C. 2 2 D ．22±6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，公比1q >，352620,64,a a a a +==则5S =A.31B.36C. 42D.487.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是=−+ii221i +1i −i −1AC AB BP PD AP DC BD μλ+===,2,μλ+8.在天文学中，天体明暗的程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足 其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度比值为A. B. C. D. 9．把函数)6sin(y π+=x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为A ．（3π，0） B ．（4π，0） C ．（12π，0） D ．（0，0）10.在棱长均相等的正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 为BB 1的中点，F 在AC 1上，且DF ⊥AC 1，则下述结论：①AC 1⊥BC ；②AF ＝FC 1；③平面DAC 1⊥平面ACC 1A 1; ④异面直线AC 1与CD 所成角为60°.其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411．已知双曲线C ：,)0,0(12222>>=−b a by a x 以点),0(b P 为圆心a 为半径作圆，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°,则双曲线C 的离心率为A.27 B. 25 C.2 D. 312.已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<−−+=10,201,1)1(1)(x x x x f x f ，若方程()21f x ax a −=−有唯一解，则实数a 的取值范围是 A ．{}),1(8+∞⋃− B ．{}),2(]1,21(16+∞⋃⋃− C ．{}),2(]1,21[8+∞⋃⋃−D ．{}),4(]2,1[32+∞⋃⋃−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．的展开式中的系数为______.14.设实数x 、y 满足约束条件，则的最小值为_______.15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标A ,B ,C D ，则该四面体的外接球的体积为_______.,lg 252112E E m m =−k m )2,1(=k E k 1.10101.101.10lg 1.1010−5)2)((y x y x −+33y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤−≤+4210x y x y x y x z 32+=)5,0,0()0,0,3()0,1,0()5,1,3(16. 数列的前项和为，数列的前项和为， 满足，，且1+=n b a n n . 若任意n n T T N n −≤∈2*,λ成立，则实数的取值范围为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）.21cos 32c 2−===∆C a c b a C B A ABC ，，，已知、、的对应边分别为、、中，角在（1）求A ；（2）设M 为BC 中点，求AM 的长.18.（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为 “冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全22⨯列联表;并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望．{}n a n n S {}n b n n T 21=a ),()(3R m N n a m n S n n ∈∈+=*λ男 女 合计 冰雪迷 20 非冰雪迷 20 合计收看时间（小时）0 3 1 2 4 5 6 0.18 0.30 0.11 0.12 0.200.09频率/组距附表及公式：()20P K k ≥0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，d c b a n +++=19．(12分)在如图所示的四棱锥F -ABCD 中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，ABC ∠＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AC ⊥BF ，CB ＝CD ＝1，(1)求证：AC ⊥平面BCF ；(2)已知二面角F －BD －C 的余弦值为55， 求直线AF 与平面DFB 所成角的正弦值. 20.（12分）已知点),(00y x M 为椭圆12:22=+y x C 上任意一点，直线22:00=+y y x x l 与圆6)1(22=+−y x 交于B A , 两点，点F 为椭圆C 的左焦点． （1）求证：直线l 与椭圆C 相切；（2）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由． 21.（12分）已知函数)1)(2(4ln )(−−+−=x a xxx f （1）当1=a 时①求函数)(x f 在))2(,2(f 处的切线方程； ②定义)14()2()1(nn f n f n f S n −+++= 其中，求2020S ； （2）当2≠a 时,设(),4ln )()(2x x x f x t −−=1()x g x xe −=(e 为自然对数的底数), 若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得)()(0x g x t i =成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.*n ∈N DACBF22.[选修4－4：极坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数，πϕ<<0）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=OM ：3πθ=与曲线C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f (x )＝|x －1|．（1）解不等式8)4()(≥++x f x f（2）若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ( ba )．内蒙古呼伦贝尔市2020年普通高中第一次统考理科数学（答案）二、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.40 14.14 15.29π 16.21≤λ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.77)21(12241cos 2230120,3023012021sin ,120sin 3sin 2sin asin c ,1200,21cos 1222=∴=−⨯⨯⨯−+=⋅⋅−+=∆∴==∴︒=∴︒=︒=︒=∴∴︒==∴︒==︒=∴<<−=AM CCM AC CM AC AM AMC a b B C A A A C A A AA C C C 中，由余弦定理得在）（锐角，，由正弦定理，且）（ π 18.解（1）由题意得下表：20 60······ 3分2k 的观测值为706.292540604060)400800(1002>=⨯⨯⨯−． ·······6分所以有90%的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关．（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，·····7分 所以的可能取值为0，1，2．且()2426C C 620155P ξ====，()114226C C C 8115P ξ===，()2226C C 1215P ξ===， ···10分 所以的分布列为()28110201251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==． ········· 12分19.解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又AD ＝CD ，所以∠A CD ＝30°，因此∠ACB ＝90°，AC ⊥BC ， ········· 3分又AC ⊥BF ，且BC ∩BF ＝B ，BC ，BF ⊂平面BCF ，(没有BC ∩BF ＝B 扣1分) 所以AC ⊥平面BCF . ·········5分 (2)取BD 的中点G ，连接CG ，FG ， 由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD ，又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角．在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°， 因此CG ＝12，又CB ＝CF=1，因为cos ∠FGC ＝55，所以2tan =∠FGC ，所以FC=1 ·········8 分 以CA 为x 轴、CB 为y 轴、CF 为z 轴建立空间直角坐标系，则D )0,21,23(−，F （0,0,1），B （0,1,0） 则平面DBF 的法向量)1,1,3(=n，)1,0,3(−=AF ，设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||||sin AF n n AF =θ=55 ······· 12分 20.（12分）解：（1）当时直线方程为或与椭圆相切．00y =l 2x =2x =l C当时，由得，由题知，，即，所以 =．故直线与椭圆相切．…………………………………6分（2）设，， 当时，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值． ………………………………12分21.（1）①1=a )40(,1ln )4ln()(<<−+−−=∴x x x x x f1141)(+−−='∴x x x f ,1)2(='∴f 1)2(=f00y ≠22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩22220000(2)4440y x x x x y +−+−=220012x y +=220022x y +=22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=−+−220016[2(1)]x y =−−220016(22)0x y +−=l C 11(,)A x y 22(,)B x y 00y =12x x =12y y =−1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+−2211(1)6(1)x x =+−+−21240x =−=FA FB ⊥90AFB ∠=00y ≠2200(1)6,22x y x x y y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩22220000(1)2(2)2100y x y x x y +−++−=2001222(2)1y x x x y ++=+21222101y x x y −=+2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =−++200254422x x y −−+=+1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y −++++−−+=+++220025(2)10022x y y −++==+FA FB ⊥90AFB ∠=AFB ∠90所以切线方程为1−=x y . ········· 3分 ②)40(,2)4()(<<=−+x x f x f .令,则2)4()(=−+nif n i f ,)14,,2,1(−=n i . 因为)14()24()2()1(nf nf nf nf S n −+−+++= ①,所以)1()2()24()14(nf n f n f n f S n +++−+−= ②,由①+②得)14(22−=n S n ,所以)(,14*N n n S n ∈−=. 所以80792020=S . ········· 7分（2）111()(1),x x x g x e xe x e −−−'=−=−当(0,1)x ∈时，()0,g x '>函数()g x 单调递增；当(]1,x e ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减0)(,1)1(,0)0(2>===−ee e g g g所以，函数(](]()0,0,1.g x e 在上的值域为因为2a ≠，],0(,)22)(2(22)(e x xa x a xa x t ∈−−−=−−='故220,22e a a e<<<−− ① 此时，当x 变化时)(x t '、)(x t 的变化情况如下：2)1)(2()(,22ln 2)22(,)(,0−−−=−−=−+∞→→e a e t aa a t x h x ∴,对任意给定的(]00,e ∈x ，在区间(]0,e 上总存在两个不同的(1,2),i x i =使得)()(0x g x t i =成立，当且仅当a 满足下列条件i x n =,1)(0)22(⎪⎩⎪⎨⎧≥≤−e t a t ⎪⎩⎪⎨⎧≥−−−≤−−12)1)(2(022ln 2e a a a 即 令22()2ln,(,2),2h a a a a e=−∈−∞−− 2()12[ln 2ln(2)]1,22ah a a a a ''=−−−=−=−−当(,0)a ∈−∞时，()0,h a '>函数()h a 单调递增，当2(0,2)a e∈−时，()0,h a '<函数()h a 单调递减 所以，对任意2(,2),a e ∈−∞−有()(0)0,h a h ≤=即②对任意2(,2)a e∈−∞−恒成立。