6.3.1 插值多项式模型 已知函数y=f(x)在n个点xi上的值f(xi)（记作yi＝f（xi），i=l，2，…n），求一 个 低于n的插值多项式Ln-1（x），使 Ln-1（xi）＝yi （i＝1,2，…n） 拉格朗日插值法求多项式 Ln-1（xi）模型为
Ln −1 ( x) = ω 1 ( x) y1 + ω 2 ( x ) y 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ω n ( x) y n = ∑ ω i ( x ) y i
例题6．l的Excel解法 依次将原始数据输人表格的前面两列；然后输人插值点；按照公式依次输人Wi和Wj： 乘 Yl的计算公式。由于 Excel具有输人公式，自动显示计算结果的能力，所以可以直接在 屏幕上看到相应的计算结果，最后在最下面的一行中输人求和计算公式：=SUM（E3： E5）得到预料中的计算结果数值0.287213。
∆3 f n −3 = ∆2 f n − 2 − ∆2 f n −3
∆3 f1 = ∆2 f 2 − ∆2 f 1
i阶差分为
∆i f 0 = ∆i −1 f 1 − ∆i −1 f 0
m
∆i f 1 = ∆i −1 f 2 − ∆i −1 f1
或简记为
j ∆m f 0 = ∑ (−1) j ⋅ c m f m −1 j =0
ω i ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x j −1 )( x − x j +1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x n )
i =1
n
( xi − x1 )( xi − x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( xi − x n )
0.463 0.771 1.152 1.625 2.207 2.918 3.775 4.797
1.0
6.0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
/
6.001
解：设所求的多次式模型为
C = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3
此时h=0.1，并将求得的
∆C 0 , ∆2 C 0 , ∆3 C 0 代人式中，即有
0.0014 0.25100 0.058 + ( x − 0.1)( x − 0.2)( x − 0.3) C = 0.212 + ( x − 0.1) + ( x − 0.1)( x − 0.2) 2 3 × 2 × 0.13 0.1 2 × 0.1
R n − 1 ( x ) = K ⋅ ( x − x 1 )( x − x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x n ) = K
K值由微分中值定理导出
∏
n
( x − xi )
i =1
K =
f
n
(ξ ) n
(ξ )
式中ξ满足：min（x1，x2，…xn）≤ξ≤max （x1，x2，…xn） 故余项可表达为
µ 25 = 1.0051 +
25 − 20 5( 25 − 22) ( −0.0472) + × 0.0035 2 4 × 2 ×1
例6.3某二元物质，溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表。试用差分法确定 两者之间的模型关系。
X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C 0.212 0.463 0.722 1.153 1.625 2.207 2.917 3.776 4.798 C△ 0.251 0.309 0.381 0.472 0.582 0.710 0.859 0.1022 0.1023 △2C 0.58 0.72 0.91 0.110 0.128 0.149 0.163 0.181 / △3C 0.14 0.19 0.19 0.18 0.21 0.14 0.18 C 计算 0.211
差商是设函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的值为： x0， x1，…xn，所谓不相等，即在f≠j时，有xi≠xj， 此时称
f (xi , x j ) =
为一阶差商。同样二阶差商：
f (x j ) − f ( xi ) x j − xi
f ( x i , x j ) − f ( x j ,− x k ) xi − x k
R n −1 ( x ) =
f
(n)
n
∏ (x − xi )
i −1
n
如果f（x）的n阶导数f(n)(x)在区间[xl，xn]的绝对值最大值或上界为Mn（常数），则导 出
Mn n Rn−1 ( x) ≤ ∏( x − x i ) n i =1
由此可知，余项大小不仅与f(x）的n阶导数有关，而且还与插值点的位置密切有关。
( x − x1 )( x − x3 ) 1 = − ( x − 1)( x − 5) ( x 2 − x1 )( x 2 − x3 ) 4
ω 3 ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) 1 = ( x − 1)( x − 3) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) 8
Ln-1（x）模型为 当X=4℃时
牛顿插值多项式为
∆f 0 ∆2 f 0 ∆n f 0 f = y0 + ( x − x0 ) + ( x − x 0 )( x − x1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − x0 )( x − x1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x n −1 ) 2 n 1h 2h n⋅h
当n=3点计算时；上式可写成：
△4 -0.0001 -0.0000
由表可以看出，△3已接近常数，故代人牛顿插值公式 y0＝µ0=1.0051；x0＝20，x1＝22; … y＝µ；x=25，h＝x1-x0＝2 所以
∆f 0 ∆2 f 0 ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) y = y0 + 2 h 2h
拉格朗日多项式形式简单、对称，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且 当全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取 距插值点j较近的几个点进行插值计算。
拉氏插值模型的余项估计
用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)给出。 或写成如下形式
例6．l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为： t（℃） 0 1 3 溶解度xi 0.3346 0.3213 0.2978 求4℃时溶解度为多少？ 解：取二次拉格朗日模型进行插值计算。
5 O.2774
ω1 ( x) =
ω 2 ( x) =
( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 3)( x − 5) ( x − 3)( x − 5) = = ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) (1 − 3)(1 − 5) 8
当n=3，上述多项式即为典型的抛物线插值多项式，为常用公式之一。
y = y1 ⋅ ( x − x 2 )( x − x3 ) ( x − x1 )( x − x3 ) ( x − x1 )( x − x 2 ) + y2 ⋅ + y3 ( x1 − x2 )( x1 − x 3 ) ( x 2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x 2 )
L 2 ( x) = ω1 ( x ) y1 + ω2 ( x) y2 + ω3 ( x) y3
(4 − 3)(4 − 5) − (4 − 1)(4 − 5) (4 − 1)(4 − 3) + × 0.2879 + 0.2774 × 8 4 8
L2 (4) = 0.3213 ×
=−
0.3213 3 3 + × 0.2978 + × 0.2774 = 0.2872 8 4 8
简记为
∆f 0 = f1 − f 0
∆f1 = f 2 − f1
∆f n −1 = f n − f n −1
上述各式称为一阶差分；类似地，二阶差分
∆2 f 0 = ∆f1 − ∆f 0 ∆3 f 0 = ∆2 f1 − ∆2 f 0
∆2 f1 = ∆f 2 − ∆f1
∆2 f n − 2 = ∆f n −1 − ∆f n − 2
展开化简得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3 对于内在数学规律复杂的数据，要使插值函数P（xi）尽量接近真实函数f(xi)，减小在 插值点上的误差，插值多项式的次数则应高一些为好。但插值多项式的次数高了又会造成 误差积累过大。 为解决这一矛盾，可以将原始数据分段，分布采用次数较低的多项式插值。但在不同 数据段接点上，由于插值函数不同，会造成曲线不光滑。在很多实际应用场合，这又是不 允许的。如时间设备的外形尺寸放样等问题。 因此又出现了新的插值方法。如能保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i的Hemit 插值，保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i， P‘’（xi）=f’‘(xi)=y‘’i的样条函数插值等。
(i ≠ j )
f ( xi , x j , x k ) =
其余类推。
(i ≠ k )
如果x0，x1，x2，…xn是等步长的，且步长为h，即x1=x0十h；x2=x0＋2h，… xn=x0十 nh；则 m阶差商与差分的关系为
∆ f0 f ( x0 , x1 ,⋅ ⋅ ⋅x m ) = mh m
m
注意：等式右边为常数！ 若各数据点m阶差商为常数，则说明已不用再计算更高一阶差商 值。
∏
n
(x − x j ) ( xi − x j )
j −1
( j ≠ i)
这是一组n—1次多项式、其分母是n—1个一次式之积，分子每一个因子都是（x-xi） 形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在内，且xl， x2，…xn是互不相同的，所以分母不为零。 数学上可以证明这种多项式可以满足Ln-1（x）= y的要求，而且是唯一的。 当n=2，拉格朗多项式即为线性插值。