数学提高班第十一讲 数列中的最值 2019.10.20题型一 等差数列前n 项和的最值1．（2019春•温州期中）在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16C ．17D ．14解：等差数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091aa <-，90a ∴>，100a <，9100a a ∴+<，又1181818()02a a S +=<，11811717918()17()17022a a a a S a ++==>，0n S ∴>成立的正整数n 的最大值是17，故选：C ． 2．（2018•河东区一模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ，则k 的值为( ) A ．1006 B ．1007 C ．1008 D ．1009解：由等差数列的求和公式和性质可得2014S 12014100710082014()1007()02a a a a +==+>，100710080a a ∴+>，同理由20150S <可得100820150a <，可得10080a <，10070a ∴>，10080a <，且10071008||||a a >，对任意正整数n ，都有||||n k a a ，k ∴的值为1008，故选：C ．题型二 利用基本不等式求最值3．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 【答案】 2正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =，存在两项m a ，n a使得1a ，2221164m n a q a +-∴=，整理，得8m n +=，∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m+=++=++ 1(10)28n m +=，则91m n+的最小值为2．当且仅当9m n n m =取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2．故答案为：24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631SS +取得最小值时，9S 的值为_______． 【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥- 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --，题型三 利用单调性求最值5.（2014秋•虹口区校级期中）已知等差数列{}n a 的前项n 和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈． （1）证明：{1}n a -是等比数列； （2）求{}n S 的通项公式；（3）求n S 取得最小值时n 的值．解（1）证明：当1n =时，1111585a S a ==--，解得114a =-，则1115a -=- 当2n 时，11(1)585n n S n a --=---，11155n n n n n a S S a a --∴=-=-+1651n n a a -∴=+，即151(1)6n n a a --=-，{1}n a ∴-是首项为15-，公比为56的等比数列．（2）解：由（1）得15115()6n n a --=-，∴11555[115()]8575()9066n n n S n n --=---=+-．（3）解：由1n n S S +>，得155175()9075()9066n n n n -++->+-，即515()16n <，解得56114.8515nlog >≈，n S ∴取得最小值时n 的值为15．6．（2019春•辛集市校级月考）已知*)n a n N =∈，则数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．1a ，50aB ．1a ，44a C ．45a ，50aD ．44a ，45a解：1n a =+2441936=，2452025=，44n ∴时，数列{}n a 单调递增，且0n a >；45n 时，数列{}n a 单调递增，且1n a <．∴在数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是44a ，45a ． 故选：D ． 7．（2019秋•延吉市校级月考）数列{}n a 的通项公式为2*2(,)n a n n n N R λλ=-+∈∈，若{}n a 是递减数列，则λ的取值范围是( ) A ．(,4)-∞ B ．(-∞，4] C ．(,6)-∞ D ．(-∞，6]解：数列{}n a 是递减数列，1n n a a +∴>，2222(1)(1)n n n n λλ∴-+>-+++， 解得42n λ<+，数列{42}n +单调递增，1n ∴=时取得最小值6，6λ∴<． 故选：C ．8．（2019春•金安区校级期末）数列{}n a 的通项公式是9(2)()10n n a n =+，那么在此数列中( )A ．78a a =最大B ．89a a =最大C ．有唯一项8a 最大D ．有唯一项7a 最大解：9(2)()10n n a n =+，119(3)()10n n a n ++=+，所以139210n na n a n ++=+，令11n n a a +即391210n n ++，解得7n ，即7n 时递增，7n >递减，所以123789a a a a a a <<<⋯<=>>⋯所以78a a =最大．故选：A ．9.已知数列{}n a 满足1=33a ，1+n a －=2n a n ，则n a n 的最小值为 221． 解：)1(33-+=n n a n ，133-+=n nn a n ，5=n ，6.10,，6n =5.1010.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当数列{}n a 的通项公式为*1,1n a n N n =∈+时，我们记实数λ为2n n S S -的最小值，那么数列1100n b n λ=-，*n N ∈取到最大值时的项数n 为 34 .解：11n a n =+，*n N ∈， 2122111()2321n n n n n S S a a a f n n n n ++∴-=++⋯+=++⋯+=+++， 1111111(1)()02223222232424f n f n n n n n n n n +-=+-=+-->+++++++，因此()f n 单调递增，1n ∴=时，2n n S S -取得最小值f （1）13λ==，111001003n b n n λ∴==--，33n 时，0n b <；34n 时，0n b >，并且单调递减．因此取得最大值时的项数34n =．11.已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且33a S +, 55a S +,44a S +成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式.1)21(23--⋅=n n a (Ⅱ) 设*()1n n n T S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.65;127-解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，33S a +，55S a +，44S a +成等差数列． 55334455()()S a S a S a S a ∴+-+=+-+,即534a a =，故25314a q a == 又数列{}n a 不是递减数列，且等比数列的首项为32,12q ∴=-∴数列{}n a 的通项公式11313()(1)222n n n n a --=⨯-=- （Ⅱ）由（Ⅰ）得11,121()121,2nn n nn S n ⎧+⎪⎪=--=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，所以1312n S S <= 故11113250236n nS S S S <--=-= 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以2314n S S >= 故221134704312n nS S S S >--=-=-,综上，对于*n N ∈，总有715126n nS S -- 故数列{}n T 的最大项的值为56，最小项的值为712-题型四 利用求导求最值12.(2013全国新课标卷理16）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知25,01510==S S ，则n nS 的最小值为 .解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则101110910104502S a d a d ⨯=+=+=，① 151115141515105252S a d a d ⨯=+=+=．②联立①②，得123,3a d =-=，∴2(1)211032333n n n S n n n -=-+⨯=-．令()f n nSn =，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>，2003n <<时，()0f n '<，∴当203n =时，()f n 取最小值，而*n N ∈，又f （6）48=-，f （7）49=-，∴当7n =时，()f n 取最小值49-．故选：C ．题型五 不等式恒成立求最值13（2015秋•珠海期末）公差不等于零的等差数列{}n a 的前3项和39S =，且1a ．2a ．5a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前项和，若1n n T a λ+对 一切*n Z ∈恒成立，求实数λ的最小值．解：（1）设公差d 不等于零的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-，1(1)2n n n S na d -=+，由39S =，可得1339a d +=，即为13a d +=，1a ．2a ．5a 成等比数列，可得2152a a a =，即为2111(4)()a a d a d +=+，解得11a =，2(0d =舍去）即有21n a n =-；（2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+，11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++，由题意可得(21)21nn n λ++，即为211(21)44n n n nλ=+++，由14n n+在[1，)+∞递增，可得最小值为415+=， 由1n n T a λ+对 一切*n N ∈恒成立，可得11549λ=+．即有实数λ的最小值为19．14．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 . 解：11)1(11n =-++n na a n ，1n 1+=n a n ，)1(1+=n n a n ，)14)(1(2nn n t --+≥，9-≥t15.（2015春•上海校级期末）设数列{}n a 的首项154a =，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+为奇数，为偶数n a n a a n n n 41,211，记2114n n b a -=-，（1）求1b ，2b ；（2）求证{}n b 为等比数列；（3）设数列)1(12-⨯=-n n n b a C ，是否存在正整数k ，使得对一切*n N ∈，都有k c C n ≥恒成立，若存在求出k c 及k 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）由154a =，且11,21,4nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2114n n b a -=-，11114b a ∴=-=，211342a a =+=，23211113114242242b a a =-=-=⨯-=．（2分） （2）110b =≠，212122112121212111111111()128424244111124444n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a -+-+-------+-=====----， {}n b ∴是以1为首项，12为公比的等比数列． ⋯（6分）（3）21325()(1)()4864n n n n c b b b =+-=--，(0n b ∈，1]，⋯（8分）设(0n b t =∈，1]，2325()864y t =--，当2n =时，12t =，38y =-；当3n =时，14t =，38y =-；⋯（10分）故存在2k =，3使得38k c =-满足题意．⋯（12分）课后练习：1．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ C ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 解：)11(2111+=++n n a a ，n n a 211=+，n n n b 2)2(1⋅-=+λ，由21b b <，可得 32<λ，1+<n n b b ，可得23<λ2．【2016年新课标1理科15】设等比数列{a n }满足a 1+a 3＝10，a 2+a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为 64 ． 【解答】解：等比数列{a n }满足a 1+a 3＝10，a 2+a 4＝5，可得q （a 1+a 3）＝5，解得q ．a 1+q 2a 1＝10，解得a 1＝8． 则a 1a 2…a n ＝a 1n •q 1+2+3+…+（n ﹣1）＝8n •，当n ＝3或4时，表达式取得最大值：26＝64． 故答案为：64．解析 由()241313105a a qa qa q a a q +=+=+==，得12q =.又()222131*********a a a a q a q a ⎡⎤⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得18a =.故()14*11822n n n a n --⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N .解法一：由1na ，得4112n -⎛⎫⎪⎝⎭，得4n，且41a =.故当3n =或4时，12n a a a 取得最大值，即()321121231234max11164222n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解法二：()()211720121221211822n n n n n n nn a a a a q--+++++-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=.3．（2019•定远县三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解：当1n =时，21222S a a =-，即222212111()2228a a a a -==--，由于函数22x x y -=的图象的对称轴为12x =，当且仅当21||2a -最大时，1a 取得最大值．2112n n n S a a ++=-，2n 时，22111222()n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---，化为：11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 10n n a a +∴+=，或110n n a a +--=．∴数列{}n a 从第三项开始，每一项是由前一项加1或乘以1-得到，又29a a =，92a a k ∴=-+，(66k -，且k 为偶数），即22a k a -+=，可得：212a k =．当6k =时，2a 取得最大值3，当6k =-时，2a 取得最小值为3-．∴当23a =-时，21||2a -取得最大值，对应1a 取得最大值为6．故选：B ．4．（2018春•安徽期末）设函数8(4)5,8(),8x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．13(,4)4B ．13[,4)4C ．(1,4)D ．(3,4)解：设函数8(4)5,8(),8x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，∴4018(4)5a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--<⎩，解得34a <<．故选：D ．。