数列知识梳理
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--
②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).
二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n
②112
-+⋅=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )
三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：
(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意
转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法：
（1）利用观察法求数列的通项.
（2）利用公式法求数列的通项：①
⎩
⎨
⎧
≥
-
=
=
-
)2
(
)1
1
1
n
S
S
n
S
a
n
n
n
（；②{}
n
a等差、等比数列{}n a公式.
1、已知{a n}满足a n+1=a n+2，而且a1=1。

求a n。

例1已知
n
S为数列{}n a的前n项和，求下列数列{}n a的通项公式：
⑴1
3
22-
+
=n
n
S
n
；⑵1
2+
=n
n
S.
（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：
①)
(
1
n
f
a
a
n
n
+
=
+
；②).
(
1
n
f
a
a
n
n
=
+
数列求和的常用方法
一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：d
n
n
na
a
a
n
S n
n2
)1
(
2
)
(
1
1
-
+
=
+
=
2、等比数列求和公式：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠
-
-
=
-
-
=
=
)1
(
1
1
)
1(
)1
(
1
1
1
q
q
q
a
a
q
q
a
q
na
S
n
n
n
二.裂项相消法:适用于
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+1
n
n
a
a
c
其中{
n
a}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

例2 求数列
)1
(n
1
+
n
的前n项和
***这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）
1
1
1
)1
(
1
+
-
=
+
=
n
n
n
n
a
n
（2）)1
21121(211)12)(12()2(2
+--+=+-=n n n n n a n （3）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
（4）
巩固练习：1.在数列 的前n 项和为
s
n ，则
=
s
99
2. 数列的通项公式是11
++=
n n a n ,若前n 项和为10，则项数为
三.错位相减法:可以求形如
的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列.
例1：求和： .
例2:数列1，3x ，5x 2,…,(2n-1)x n-1
前n 项的和．
小结：错位相减法类型题均为：
n
n
a b 等差数列等比数列连续相加。

四.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2
)1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2
n 5）
1
1
1)1(1+-=+n n n n
)2
1
1(21)2(1+-=+n n n n
1
11)1(1
+-=+n n n n。