e2 (t) r2 (t) rzs2 (t) rzi (t)
e3(t) e1(t) e2 (t) r3(t) rzs1(t) rzs2 (t) rzi (t) r1(t) r2 (t)
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e1(t) r1(t) rzs (t) rzi (t) ii)不满足时不变特性 e2 (t) e1(t t0 ) r2 (t) rzs (t t0 ) rzi (t)
对激励 e(t) (t) 3e3tu(t) 的响应。
解： r(t) rzs3 (t) 2rzi1(t) rzi2 (t)
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二、冲激响应和阶跃响应
1．冲激响应：
① r(k) (0 ) 0时，系统对e(t) (t)的响应称为冲激响应，记为 h(t)。零状态响应，满足线性时不变特性
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② 1
C
di
d 2i di
d
idt L dt Ri e(t) dt2 dt i dt e(t)
当t≥0+时，
e(t) 20V
，故
d 2i dt 2
di i 0 dt
③当-∞<t<+∞时，e(t)
10
10u(t)故
d 2i dt 2
i)t≥0时右端自由项为0，故解具有零输入响应的形式
n
h(t
)
[
A i
e
ait
]u(t
)
i 1
ii)当n>m时，h(t)不包含 (t) 项
iii)当n=m时，h(t)包含 (t)项
iv)当n<m时，h(t)包含 (t)和其导数项，最高项为m-n 次
④求法 i)直接设待定系数
ii)解微分方程，利用冲激函数匹配法确定初始条件，见P59例
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§2.2 零输入、零状态、冲激、阶跃响应
一、零输入、零状态响应
1．概念的引出 ①前一种求法：完全响应=自由响应+强迫响应
其中自由响应待定系数由冲激函数匹配法求出 ②另一种求法：完全响应=零输入响应+零状态响应
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3．零状态响应的定义与待定系数确定
①定义：起始状态为0，只由激励产生的响应，rzs (t) H[e(t)]
②满足方程：
c0
dn dt n
rzs
(t)
.......
cn1
d dt
rzs
(t )
cnrzs
(t )
E0
n
故 rzi (t) 是一种齐次解形式，即 rzi (t) Azikekt
k 1
其中，1,2......n 为互不相等的n个系统特征根
③初始条件：rz(ik ) (0 ) rz(ik ) (0 ) r (k ) (0 )
即齐次解 rzi (t) 的待定系数用r(k ) (0 ) 确定即可！
待定系数由起始状态决定 零输入初始条件
e( )h(t )d e(t) h(t)
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③解的形式特点
c0
dn dt n
h(t)
c1
d n1 dt n1
h(t)
.....
cn1
d dt
h(t)
cnh(t)
E0 (m) (t) E1 (m1) (t) .... Em (t)
dm dt m
e(t )
.....
Em
n
故 rzs (t) 含特解 rp (t)，即 rzs (t) Azsk ekt rp (t)
k 1
③初始条件：由于
r(k) zs
(0
)
0
r(k) zs
(0
)
r(k) zs
(0
)
r
(k)
(0
)
r(k)
(0
)
=跳变值
故
r(k zs
)
(0
)
=跳变值，即系数
i)响应的可分解性：r(t) rzi (t) rzs (t)
ii)零状态线性：r (k ) (0 ) 0 rzs (t) 对e(t)呈线性；
iii)零输入线性：e(t) 0 rzi (t) 对各起始状态呈线性关系。
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(t)
H[.]
{x(0 )} 0
h(t)
0
h(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]
物理意义：信号分解为
②用卷积描述零状态响应
e(t)
e(
)
(t
)d
考虑与t有关的项
冲激信号之和，借助系 统的冲激响应，求出系 统对任意激励信号的零 状态响应
rzs (t) H[e(t)]
e( )H[ (t )]d
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2．零输入响应的定义与待定系数确定 ①定义：没有外加激励信号作用，完全由起始状态
所产生的响应，rzi (t) H[{x(0- )}
dn
d
②满足方程：c0 dtn rzi (t) ... cn1 dt rzi (t) cnrzi (t) 0
Azsk
由跳变值确定
零状态初始条件
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[例2]：已知电路图，求 ① i(0 ),i(0 ),i(0 ),i(0 )； ②写出t≥0+的微分方程；
③写出-∞<t<+∞的微分方程，求 i(0 ), i(0 ), i(0 ), i(0 )
3 2
Azs 2
sin
3) 2
由 izs (0 ) i(0 ) i(0 ) 0 izs (0 ) i(0 ) i(0 ) 10
可得 Azs1 0
Azs 2
20 3
故
rzs (t)
20
t
e2

sin(
3
3 t)u(t) 2
iii)完全响应：r(t) rzi (t) rzs (t)
20
( A1 A2 ) (t) (2A1 A2 ) (t) (t) 3 (t)
A1 A2 1 2 A1 A2
3
A1 A2
2 1
故 h(t) (2et e2t )u(t)
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[例6]：求下列h(t)
目测法：rrzzss
(0 ) (0 )
r(0 ) r(0
r(0 ) ) r(0
)
0 1
故
Azs1 Azs2 0 Azs1 2 Azs2 1
Azs1 Azs 2
1 1
所以
rzs (t)
(et
e2t )u(t) 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
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[例6]：求下列h(t)
①
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
2r(t)
d dt
e(t)
3e(t)
解：①设 h(t) ( A1et A2e2t )u(t) 不含 (t)
h(t) ( A1 A2 ) (t) ( A1et 2 A2e2t )u(t) h(t) ( A1 A2 ) (t) ( A1 2 A2 ) (t) ( A1et 4 A2e2t )u(t)
i) i(0 ) 0 A, i(0 ) 0 A/s
ii)电感电流不跳变：i(0 ) i(0 ) 0A
iii)电容电压不跳变：vc (0 ) vc (0 ) 10 V
L
di(t) dt
e(0 )
vc (0 )
i(0 )R
20
10
10
i(0) 10 A/s
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将e(t)代入右端，得自由项= (t)
目测法得： r(0 ) r(0 ) 1, r(0) - r(0-) 0
故 r(0 ) 1, r(0 ) 1
代入：11
A1 A2 A1
2
A2
即 rzi (t) et
A1 1
A2
0
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[例5]：二阶系统
r(0 ) 1, r(0 ) 0 : rzi1(t) et e2t r(0 ) 0, r(0 ) 1: rzi2 (t) 2et 2e2t
e(t) e3tu(t) : rzs3 (t) (3et 2e2t e3t )u(t)
求系统在 r(0 ) 2, r(0 ) 1 起始状态下，
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t 0
d
d
e RC vc
d
t
1
eRC e d
0 RC
t
e RC vc
t vc
0
1 RC
t e RC e d
0
t
vc t e RC vc 0