当前位置:文档之家› 《函数的基本性质》培优训练题(教师版)

《函数的基本性质》培优训练题(教师版)

《函数的基本性质》培优训练题1.(2016?义乌市模拟)已知a为实数,函数f(x)=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为()A.[1,8]B.[3,8]C.[1,3]D.[﹣1,8]【解答】解:令函数g(x)=x2﹣ax﹣2,由于g(x)的判别式△=a2+8>0,故函数g(x)一定有两个零点,设为x1和x2,且 x1<x2.∵函数f(x)=x2﹣|x2﹣ax﹣2|=,故当x∈(﹣∞,x1)、(x2,+∞)时,函数f(x)的图象是位于同一条直线上的两条射线,当x∈(x1,x2)时,函数f(x)的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分,且各段连在一起.由于f(x)在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递增,∴a>0且函数g(x)较小的零点x1=≥﹣1,即a+2≥,平方得a2+4a+4≥a2+8,得a≥1,同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为x=,若且﹣1≤≤2,可得﹣4≤a≤8.综上可得,1≤a≤8,故实a的取值范围为[1,8],故选:A.2.(2016?江西校级模拟)已知定义域为R的函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,且y=f(x+2)为偶函数,则关于x的不等式f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0的解集为()A.(﹣∞,﹣)∪(2,+∞)B.(﹣,2)C.(﹣∞,)∪(2,+∞)D.(,2)【解答】解:∵定义域为R的函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,且y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)关于x=0对称,即函数f(x+2)在(0,+∞)上为减函数,由f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0得f(2x﹣1)>f(x+1),即f(2x﹣3+2)>f(x﹣1+2),即|2x﹣3|<|x﹣1|,平方整理得3x2﹣10x+8<0,即<x<2,即不等式的解集为(,2),故选:D3.(2016?四川模拟)设f(x)满足:①任意x∈R,有f(x)+f(2﹣x)=0;②当x≥1时,f(x)=|x﹣a|﹣1,(a >0),若x∈R,恒有f(x)>f(x﹣m),则m的取值范围是()A.(0,+∞)B.(4,+∞)C.(3,+∞)D.(5,+∞)【解答】解:∵任意x∈R,有f(x)+f(2﹣x)=0,∴f(2﹣x)=﹣f(x),则函数关于(1,0)点对称,当x=1时,f(1)+f(2﹣1)=0,即2f(1)=0,则f(1)=0,∵当x≥1时,f(x)=|x﹣a|﹣1,∴f(1)=|1﹣a|﹣1=0,则|a﹣1|=1,则a﹣1=1或a﹣1=﹣1,则a=2或a=0,∵a>0,∴a=2,即当x≥1时,f(x)=|x﹣2|﹣1当x≤1时,﹣x≥﹣1,2﹣x≥1,即f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣(|2﹣x﹣2|﹣1)=1﹣|x|,x≤1,作出函数f(x)的图象如图:若f(x)>f(x﹣m),则由图象知,将函数f(x)向右平移m个单位即可,由图象知,m>4,故选:B4.(2016?广安模拟)已知f(x)=32x﹣(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣∞,2﹣1)C.(﹣1,2﹣1)D.(﹣2﹣1,2﹣1)【解答】解:令3x=t (t>0),则g(t)=t2﹣(k+1)t+2,若x∈R时,f(x)恒为正值,则g(t)=t2﹣(k+1)t+2>0对t>0恒成立.∴①或②解①得:﹣1<k<﹣1+;解②得:k≤﹣1.综上,实数k的取值范围是(﹣∞,2﹣1).故选:B.5.(2016?通州区一模)若定义域均为D的三个函数f(x),g(x),h(x)满足条件:?x∈D,点(x,g(x))与点(x,h(x))都关于点(x,f(x))对称,则称h(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=,f(x)=3x+b,h(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”,且h(x)≥g(x)恒成立,则实数b的取值范围是()A.(﹣∞,﹣]B.[﹣,]C.[﹣3,]D.[,+∞)【解答】解:作出g(x)和f(x)的图象,若h(x)≥g(x)恒成立,则h(x)在直线f(x)的上方,即g(x)在直线f(x)的下方,则直线f(x)的截距b>0,且原点到直线y=3x+b的距离d≥1,即d==≥1,即|b|≥,则b≥或b≤﹣(舍),即实数b的取值范围是[,+∞),故选:D6.(2016春?普宁市校级月考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x﹣2),当x∈(1,3)时,f(x)=1+(x﹣2)2,则()A.f(sin)>f(sin)B.f(sin)<f(cos)C.f(cos)>f(cos)D.f(tan)<f(tan)【解答】解:由f(x)=f(x﹣2)得函数的周期是2,∵x∈(1,3)时,f(x)=1+(x﹣2)2,则函数关于x=2对称,∴当x∈(1,2)时,函数单调递减,则x∈(2,3)时,函数单调递增,即当x∈(0,1)时,函数单调递增,由f(x)=f(x+2)=f(2﹣x)=f(﹣x),即函数f(x)同时也是偶函数,A.f(sin)>f(sin)等价为f()>f(),∵当x∈(0,1)时,函数单调递增,∴不等式f()>f(),成立,故A正确,B.f(sin)<f(cos)等价为f()<f(﹣)=f(),∵当x∈(0,1)时,函数单调递增,∴不等式f()<f(),不成立,故B错误,C.f(cos)>f(cos)等价为f()>f(),∵当x∈(0,1)时,函数单调递增,∴不等式f()>f(),不成立,故C错误,D.f(tan)<f(tan)等价为f()<f(﹣)=f(),则不等式不成立,故D错误,故选:A.7.(2015?南昌校级二模)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)﹣e x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln2)的值等于()A.1B.e+lC.3D.e+3【解答】解:设t=f(x)﹣e x,则f(x)=e x+t,则条件等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,∵函数f(x)为单调递增函数,∴函数为一对一函数,解得t=1,∴f(x)=e x+1,即f(ln2)=e ln2+1=2+1=3,故选:C.8.(2016春?温州期中)已知函数f(x)在R上满足f(﹣x)+f(x)=0,且x>0时,f(x)=(|x+sinα|+|x+2sinα|)+sinα(﹣≤α≤)对任意的x∈R,都有f(x﹣3)≤f(x)恒成立,则实数α的取值范围为()A.[0,π]B.[﹣,]C.[﹣,]D.[﹣,]【解答】解:设t=sinα,则t∈[﹣1,1];当x>0时,f(x)=(|x+t|+|x+2t|)+t,若t≥0,则当x>0时,f(x)=x+3t,当x<0时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(﹣x+3t)=x﹣3t,由f(x﹣3)≤f(x)恒成立,可得y=f(x)的图象恒在y=f(x﹣3)的图象上方,则sinα≥0;当t<0时,当x≥0时,f(x)=,由f(x)=x+3t,x≥﹣2t,得f(x)≥t;当﹣t<x<﹣2t时,f(x)=t;由f(x)=﹣x,0≤x≤﹣t,得f(x)≥t.∴当x>0时,f(x)min=t.∵函数f(x)为奇函数,∴当x<0时,f(x)max=﹣t.∵对x∈R,都有f(x﹣3)≤f(x),∴﹣3t﹣3t≤3,解得t≥﹣,综上可得sinα≥﹣,解得﹣+2kπ≤α≤2kπ+,k∈Z.又α∈[﹣,],∴α∈[﹣,].故选:D.9.(2015?衡水校级模拟)已知函数f(x)和g(x)是两个定义在区间M上的函数,若对任意的x∈M,存在常数x0∈M,使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0),且f(x)=g(x0,则称f(x)与g(x)在区间M上是“相似函数”,若f(x)=2x2+ax+b与g(x)=x+在[1,]上是“相似函数”,则函数f(x)在区间[1,]上的最大值为()A.4B.C.6D.【解答】解:利用导数可知g(x)=x+在[1,]上的最小值为4,最大值为5,对任意的x∈M,存在常数x0∈M,使得g(x)≥g(x0),则g(x0)=g(x)min=4,此时x0=2.根据题意知f(x)min=f(2)=4,二次函数f(x)=2x2+ax+b的顶点坐标为(2,4),∴a=﹣8,b=12∴f(x)=2(x﹣2)2+4,∴f(x)在[1,]上的最大值为f(x)max=f(1)=6故选C.10.(2015?莆田校级模拟)设函数f(x)的定义域为A,若存在非零实数l使得对于任意x∈I(I?A),有x+l∈A,且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为I上的l高调函数,如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2,且函数f(x)为R上的1高调函数,那么实数a的取值范围为()A.0<a<1B.﹣≤a≤C.﹣1≤a≤1D.﹣2≤a≤2【解答】解:定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2=图象如图,∵f(x)为R上的1高调函数,当x<0时,函数的最大值为a2,要满足f(x+l)≥f(x),1大于等于区间长度3a2﹣(﹣a2),∴1≥3a2﹣(﹣a2),∴﹣≤a≤故选B11.(2014?湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣3x,则函数g(x)=f(x)﹣x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{﹣3,﹣1,1,3}C.{2﹣,1,3}D.{﹣2﹣,1,3}【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣3x,令x<0,则﹣x>0,∴f(﹣x)=x2+3x=﹣f(x)∴f(x)=﹣x2﹣3x,∴∵g(x)=f(x)﹣x+3∴g(x)=令g(x)=0,当x≥0时,x2﹣4x+3=0,解得x=1,或x=3,当x<0时,﹣x2﹣4x+3=0,解得x=﹣2﹣,∴函数g(x)=f(x)﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣,1,3}故选:D.12.(2014?安徽模拟)已知f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果f(ax+1)≤f(x﹣2)在上恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣2,1]B.[﹣5,0]C.[﹣5,1]D.[﹣2,0]【解答】解:由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立,得x﹣2≤ax+1≤2﹣x对恒成立,从而且对恒成立,∴a≥﹣2且a≤0,即a∈[﹣2,0],故选D.13.(2014?濮阳二模)已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1、x2,不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1﹣x)<0的解集为()A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(﹣∞,0)D.(﹣∞,1)【解答】解:由不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0恒成立得,函数f(x)是定义在R上的减函数①.又因为函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以有函数f(x+1)过点(0,0);故函数f(x)过点(1,0)②.①②相结合得:x>1时,f(x)<0.故不等式f(1﹣x)<0转化为1﹣x>1?x<0.故选C.14.(2014?渭南二模)已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x<0时g(x)=﹣ln(1﹣x),函数若f(2﹣x2)>f(x),则实数x的取值范围是()A.(﹣2,1)B.C.(﹣1,2)D.【解答】解:∵奇函数g(x)满足当x<0时,g(x)=﹣ln(1﹣x),∴当x>0时,g(﹣x)=﹣ln(1+x)=﹣g(x),得当x>0时,g(x)=﹣g(﹣x)=ln(1+x)∴f(x)的表达式为,∵y=x3是(﹣∞,0)上的增函数,y=ln(1+x)是(0,+∞)上的增函数,∴f(x)在其定义域上是增函数,由此可得:f(2﹣x2)>f(x)等价于2﹣x2>x,解之得﹣2<x<1故选A15.(2014?张掖模拟)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[0,2]时,f(x)=(x﹣1)2,如果g(x)=f(x)﹣log5|x ﹣1|,则函数y=g(x)的所有零点的个数是()A.2B.4C.6D.8【解答】解:由题意可得g(x)=f(x)﹣log5|x﹣1|,根据周期性画出函数f(x)=(x﹣1)2的图象以及y=log5|x﹣1|的图象,根据y=log5|x﹣1|在(1,+∞)上单调递增函数,当x=6 时,log5|x﹣1|=1,∴当x>6时,y=log5|x﹣1|>1,此时与函数y=f(x)无交点.再根据y=log5|x﹣1|的图象和 f(x)的图象都关于直线x=1对称,结合图象可知有8个交点,则函数g(x)=f(x)﹣log5|x﹣1|的零点个数为 8,故选D.16.(2014?山东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=﹣f(x),当0≤x≤1时,,则使的x的值是()A.2n(n∈Z)B.2n﹣1(n∈Z)C.4n+1(n∈Z)D.4n﹣1(n∈Z)【解答】解:∵f(x)是奇函数且f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)∴函数f(x)的周期T=4.∵当0≤x≤1时,f(x)=x,又f(x)是奇函数,∴当﹣1≤x≤0时,f(x)=x,令x=﹣解得:x=﹣1而函数f(x)是以4为周期的周期函数,∴方程f(x)=﹣的x的值是:x=4k﹣1,k∈Z.故选D.17.(2013?屯溪区校级模拟)已知函数f(x)=lg(a x﹣b x)+x中,常数a、b满足a>1>b>0,且a=b+1,那么f (x)>1的解集为()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,10)D.(10,+∞)【解答】解:由a x﹣b x>0即>1解得x>0,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为a>1>b>0,所以a x递增,﹣b x递增,所以t=a x﹣b x递增,又y=lgt递增,所以f(x)=lg(a x﹣b x)+x为增函数,而f(1)=lg(a﹣b)+1=lg1+1=1,所以x>1时f(x)>1,故f(x)>1的解集为(1,+∞).故选B.18.(2013?北京校级一模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[1,3]时,f(x)=2﹣|x﹣2|,则()A.B.f(sin1)>f(cos1)C.f(tan3)<f(tan6)D.f(sin2)<f(cos2)【解答】解:设x∈[﹣1,1],则x+2∈[1,3]∴f(x)=f(x+2)=2﹣|x+2﹣2|=2﹣|x|即f(x)=∴=f()﹣f()=2﹣﹣2+=0∴,排除A∵1>sin1>cos1>0,f(x)在[0,1]上单调减∴f(sin1)<f(cos1),排除B∵﹣1<tan6<tan3<0,f(x)在[﹣1,0]上单调增∴f(tan3)>f(tan6),排除C故选D 19.(2013?泰安一模)设奇函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数,f(﹣1)=﹣1.若函数f(x)≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1,1]都成立,则当a∈[﹣1,1]时,t的取值范围是()A.﹣2≤t≤2B.C.t≤﹣2或t=0或t≥2D.【解答】解:∵奇函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数,f(﹣1)=﹣1∴x=1时,函数有最大值f(1)=1若函数f(x)≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1,1]都成立,∴1≤t2﹣2at+1∴2at﹣t2≤0,设g(a)=2at﹣t2(﹣1≤a≤1),欲使2at﹣t2≤0恒成立,则∴∴t≤﹣2或t=0或t≥2故选C.20.(2013?梅州一模)若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为()A.2B.C.D.【解答】解:∵x>0,y>0,∴x2+2xy≤a(x2+y2))?2xy≤(a﹣1)x2+ay2?(a﹣1)﹣2×+a≥0,令t=(t>0),f(t)=(a﹣1)t2﹣2t+a,依题意,即,解得a≥.∴实数a 的最小值为.故选D.21.(2012?南溪县校级一模)已知函数是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.1≤a≤2B.a≤1或a≥2C.1<a<2D.a<1或a>2【解答】解:根据题意,当x≥0时,f(x)=x2,易得f(x)为增函数,当x<0时,f(x)=x3+a2﹣3a+2,也为增函数,若f(x)在(﹣∞,+∞)上的增函数,必有02≥03+a2﹣3a+2,即0≥a2﹣3a+2,解可得1≤a≤2,故选A.22.(2012?沙坪坝区校级模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2﹣x)=2f(1),当x≥1时,且x∈[﹣2,2]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m﹣n的最小值是()A.B.C.1D.2【解答】解:∵当x≥1时,,∴f(1)=1+4=5,∴f(x)+f(2﹣x)=2f(1)=10,令x=0,可得f(0)+f(2)=10,可得f(0)=6,f(﹣2)+f(4)=10,可得f(﹣2)=5,画出f(x)的草图:f(x)在(0,2)上为减函数,f(x)在[﹣2,0]上是增函数,∴f(x)在x∈[﹣2,2]上最小值为:f(2)=4,最大值为f(0)=6,∴m的最小值为6,n的最大值为4,∴m﹣n的最小值是6﹣4=2,故选D;23.(2012?浉河区校级模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x+x2,若存在正数a,b,使得当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[],则a+b=()A.1B.C.D.【解答】解:设x>0,有﹣x<0,则f(﹣x)=﹣2x+x2,又由y=f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),则x>0时,f(x)=2x﹣x2,对于a、b分三种情况讨论:①、当a<1<b时,f(x)=2x﹣x2的最大值为1;得=1,即a=1,不合题意,舍去,②、当a<b<1时,f(a)<1,f(b)<1且在[a,b]上单调增,而>1,不合题意,舍去,③、当1≤a<b时,f(x)在[a,b]上单调减,可得,解可得a=1,b=,符合题意,则a+b=;故选D.24.(2012?城区校级模拟)?x∈R,函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x+2)=﹣f(x),当时,那么在上方程f(x)=0的所有根的和是()A.3B.5C.7D.10【解答】解:∵函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x+2)=﹣f(x),∴函数是奇函数,且周期为2,且f(0)=0即f(2)=f(0)=0,f(1)=f(3)=f(﹣1)=0∴在上方程f(x)=0的所有根为﹣1、1、3,2,0∴在上方程f(x)=0的所有根的和是5故选A.。

相关主题