24．1．2 垂直于弦的直径
承留一中聂佳授课题目：垂直于弦的直径课型：新授课
授课对象：九年级学生授课学时：1课时（45分钟）
参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）
一、教材分析
1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标
1、知识目标：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
三、教学关键
圆的轴对称性的理解
四、教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点
1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助
多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：
情景创设情景创设（1分钟）
情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的
弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)
为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
（ppt）
把一些实际问题转化为数学问题
思考：若用直角三角形
解决，那么E是否为AB
中点？
从实际
出发，充
分发现
问题的
存在，再
带着问
题去思
考它们
之间的
关系，有
助于定
理的得
出。
回顾旧识回顾旧识（2分钟）
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两
道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
（电脑上直观的动画演示，运用几何画板
演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）
学生观察一些图形：
如果一个图形沿一条直
线对折，直线两旁的部
分能够互相重合，那么
这个图形叫轴对称图
形。
如线段、角、等腰三角
形、矩形、菱形、等腰
梯形、正方形。
通过复
习，强化
学生本
节课所
需要的
相关知
识，为学
生自主
探索垂
径定理
做奠基。
师生互动师生互动（4分钟）
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时
圆的翻折动画让学生观察，讨论
（1）图中圆可能会有哪些等量关系？
（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性
质？
实验：将圆沿直径CD对
折
观察：图形重合部分，
思考图中的等量
关系
猜想：AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于
弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧？
引导学
生通过
“实验
--观察
--猜
想”，获
得感性
认识，猜
测出垂
直于弦
的直径
的性质
探求新知探求新知（5分钟）
提问：这个结论是同学们通过演示观察猜
想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，
下面我们试着来证明它。
已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，A B⊥CD
证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB
（<板书及电脑显示>垂径定理：垂直于弦的直
径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
<进一步也可推知>垂径定理的推论：平分弦
（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
探索：
证明：
连结OA、OB，则
OA＝OB，又OE⊥AB
∴△OAE≌△OBE
则AE=BE
∴CD所在的直线垂直
平分弦AB
当把⊙O沿着直径
CD折叠时，A点和B
点重合
所EA=EB、弧AC=
弧CB、弧AD=弧DB
让学生
自主探
究，大胆
求证猜
想发展
思维能
力，归纳
结果
拓
展
升
华
拓展升华（3分钟）
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直
线来说。
如果具备：
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的
劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其
他三个结论（知二推三）。
学生自主探证
通过问
题，引导
学生拓
展思维，
发现新
目标
新
知
强
化
新知强化（2分钟）
（电脑显示）下列哪些图形可以用垂径定理？你
能说明理由吗？
（1）（2）（3）
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
图（1）垂直弦的不
是直径
图（2）直径不垂直
弦
图（3）AB为弦，
CD为直径，AB⊥CD满
足垂径定理
运用定
理变式
练习揭
示定理
本质属
性，强调
垂径定
理两个
条件
巩固训练（18分钟）
练习1：判断下列说法的正误
○1平分弧的直径必平分弧所对的弦（对）
②平分弦的直线必垂直弦（错）
③垂直于弦的直径平分这条弦（对）
④平分弦的直径垂直于这条弦（错）
⑤弦的垂直平分线是圆的直径（错）
学生总结归纳，快速判
断，电脑显示
E
O
C D
A
B
E
A B
C
D
E
O
A B
D
C
运用新知⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
（对）
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧（错）
练习2（5分钟）
（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对
的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距
离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径
吗？
（练习本做、电脑显示）
解：如图，设半径为R
在Ｒt⊿AOD中，由勾股
定理，得
解得R≈27.9（m）
答：赵州桥的主桥拱半
径约为27.9m
练
习结束
后，返回
情景问
题，解决
之前不
能完成
的题目，
体会成
功的乐
趣，发展
思维能
力，富有
成就感。
练习3：（3分钟）
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
（学生识图、练习本做、
电脑显示）
解：OE ⊥AB
在Ｒt⊿AOE中
答：⊙O的半径为5cm.
解决问
题的方
法——
过圆心
向弦做
垂线，利
用垂径
定理来
解决一
系列类
似问题。
=
=AB
AD
2
1
,7.
18
4.
37
2
1
=
⨯
DC
OC
OD-
=.2.7
-
=R
,2
2
2OD
AD
OA+
=
.)2.7
(
7.
182
2
2-
+
=R
R
即
11
84
22
AE AB
∴==⨯=
222
AO OE AE
=+
2222
=3+4=5cm
AO OE AE
=+。