余数问题【求余数】（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）一组，就可得到331组，尚余4个6。

而6666÷7=952……2。

所以，原式的余数是2。

例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。

（《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。

9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。

7×3=21，21÷9=2……3。

所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。

例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。

然后，按所得的余数分类。

要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。

但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。

这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。

但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。

所以，最多能选出77个。

【同余问题】例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。

这个整数是_____。

（全国第一届“华杯赛”初赛试题）讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。

因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。

不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。

例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。

那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。

又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。

例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。

夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。

第三、四、五只猴子也都这样做。

问：最初至少有______个桃子。

（哈尔滨市小学数学竞赛试题）讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。

于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。

加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。

因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。

这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。

所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。

例4 在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。

余数是0：7、14、21、28余数是1：1、8、15、22、29余数是2：2、9、16、23、30余数是3：3、10、17、24余数是4：4、11、18、25余数是5：5、12、19、26余数是6：6、13、20、27要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。

所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。

而余数为0的数只取一个。

故最多可以取15个数。

有关数的法则或方法【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。

）“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。

它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。

“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‰”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰”，读作“千分之七”。

【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。

利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n （1≤a≤10，n是整数）”的形式。

例如：25700，把小数点向左移动四位，得1＜2.57＜10，但2.57比25700小了10000倍，所以25700=2.57×104。

0.00867，把小数点向右移动三位，得1＜8.67＜10，但8.67比0.00867大了1000倍，所以【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。

四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。

这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。

例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。

去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。

进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。

这种求近似数的方法，叫做“进一法”。

显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。

值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。

例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60，即1.5972≈1.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。

【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。

（1）查表法。

用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。

（2）试除法。

如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。

例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、5、7、11、13、17、19……等质数去试除。

这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。

所以，我们只要用质数去试除就可以了。

由161÷7=23，可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。

所以，161是合数，而不是质数。

由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197÷17=11……10，这时的除数17已大于不完全商11，于是可以肯定：197是质数，而不是合数。

因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。

假定有，商也一定比11小。

这就是说，197同时还要有比11小的约数。

但经过试除，比11小的质数都不能整除197，这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。

【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。

（1）分解质因数法。

先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。

例如，求2940、756和168的最大公约数：∵ 2940=22×3×5×72，756=22×33×7，168=23×3×7；∴（2940，756，168）=22×3×7=84。

注：“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756和168的最大公约数是84”。

（2）检验公约数法。

“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。

（3）辗转相减法。

较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。

这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。

例如，求792和594的最大公约数。

∵（792，594）=（792-594，594）=（198，594）=（594-198，198）=（198，396）=（198，396-198）=（198，198）=198，∴（792，594）=198。

用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。

这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。

这个相等的差，就是这些数的最大公约数。

例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。

∵（1260，1134，882，1008）=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）=（126，126，882，252）=（126，126，882-126×6，252-126）=（126，126，126，126）=126，∴（1260，1134，882，1008）=126。

（4）辗转相除法（欧几里得算法）。

用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。

求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。

例如，求437和551的最大公约数。

具体做法是：先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。

然后依下述步骤去做：（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为114。

（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。

（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。

（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。