课题
§3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数
教学目标
1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
2、会用待定系数法确定函数的解析式
教学重点
掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学难点
掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学方法
讲练结合法
教学过程
（I）知识要点
（见下表：）
注：二次函数))((44)2(2
22
n x m x a a
b a
c a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ） 对称轴a
b
x 2-=，顶点)442(2a b ac a b --， 抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解
例1、求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3）
（3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22
，且抛物线过点（1，7）。
解：（1）设)0(2
≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=++2
41
24162
241c b a c b a c b a c b a 解得 242-+-=∴x x y （2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2
=--a ，得
2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y
（3）∵抛物线对称轴为2=x ；
∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称； ∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、，+--B A
∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=-
+++=，将（1，7）
代入方程可得1=a
∴所求二次函数为242
++=x x y ，
例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0
解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2
≠++=a c bx ax y
将三点坐标分别代入，可得方程组为：
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=0
41658
c b a c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=821c b a
9)1(8222--=--=∴x x x y
∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x
又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值 函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(，-∞
（2）由2408202
-≤≥≥--≥x x x x y 或，解得可得 由4208202
<<-<--<x x x y ，解得可得
例3：求函数]11[1)(2
，
，-∈+-=x x x x f 的最值及相应的x 值 解由4
3)21(122
+-=+-=x x x
y ，知函数的图像开口向上，对称轴为21
=x
∴依题设条件可得)(x f 在]211[，-上是减函数，在]12
1
[，上是增函数。
∴当]11[2
1，-∈=x 时，函数取得最小值，且43
m in =y
又∵2
1123211->=-- ∴依二次函数的对称性可知)1()1(f f >-
∴当1-=x 时函数取得最大值，且31)1()1(2m ax =+---=y
例4、已知函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f
(1)若函数)(x f 的递减区间是]4(，-∞，求实数a 的取值 (2)若函数)(x f 在区间]4(，-∞上是减函数，求实数a 的取值范围
分析：二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的，要分清函数在区间A 上是单调函数及单调区间是A 的区别与联系
解：（1）)(x f 的对称轴是a a x -=--=12
)1(2，且二次项系数为1>0
可得函数图像开口向上
∴)(x f 的单调减区间为]1(a --∞，
∴依题设条件可得341-==-a a ，解得 (2)∵)(x f 在区间]4(，-∞上是减函数
∴]4(，
-∞是递减区间]1(a --∞，的子区间 ∴341-≤≥-a a ，解得
例5、函数2)(2
-+=bx x x f ，满足：)3()3(x f x f +=-
（1）求方程0)(=x f 的两根21x x ，的和 （2）比较)1(-f 、)1(f 、)4(f 的大小 解：由)3()3(x f x f -=+知函数图像的对称轴为32
)
3()3(=-++=
x x x
632
-==-
∴b b
可得 11)3(26)(22--=--=∴x x x x f
而)(x f 的图像与x 轴交点)0()0(21，、，x x 关于对称轴3=x 对称 632
212
1=+=+∴x x x x ，可得
由二次项系数为1>0，可知抛物线开口向上 又134231431=-=-=--，，
∴依二次函数的对称性及单调性可)1()1()4(-<<f f f （III ）课后作业 练习六
（Ⅳ）教学后记：。