华师大版二次函数教案 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8第二十六章 二次函数[本章知识要点]1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.26.1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义.[MM 及创新思维](1)正方形边长为a (cm ),它的面积s (cm 2)是多少(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式.请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数为什么如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义. [实践与探索]例1. m 取哪些值时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:02≠-m m .解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,则 02≠-m m . 解得 0≠m ,且1≠m .因此,当0≠m ,且1≠m 时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数. 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数. 探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些值例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (cm 2)与正方体棱长a (cm )之间的函数关系; (2)写出圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系;(4)菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系.解 (1)由题意,得 )0(62>=a a S ,其中S 是a 的二次函数;(2)由题意,得 )0(42>=x x y π,其中y 是x 的二次函数; (3)由题意,得 10000%98.110000⋅+=x y (x ≥0且是正整数), 其中y 是x 的一次函数;(4)由题意,得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ,其中S 是x 的二次函数.例3.正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积.解 (1))2150(4225415222<<-=-=x x x S ;(2)当x=3cm 时,189342252=⨯-=S (cm 2). [当堂课内练习]1.下列函数中,哪些是二次函数 (1)02=-x y (2)2)1()2)(2(---+=x x x y (3)xx y 12+= (4)322-+=x x y2.当k 为何值时,函数1)1(2+-=+kk x k y 为二次函数3.已知正方形的面积为)(2cm y ,周长为x (cm ). (1)请写出y 与x 的函数关系式; (2)判断y 是否为x 的二次函数. [本课课外作业]A 组1.已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数,求m 的值.2.已知二次函数2ax y =,当x=3时,y= -5,当x= -5时,求y 的值.3.已知一个圆柱的高为27,底面半径为x ,求圆柱的体积y 与x 的函数关系式.若圆柱的底面半径x 为3,求此时的y .4.用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形,求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗请写出半径r 的取值范围.B 组5.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是 ( )A .22)1(x m y -=B .22)1(x m y +=C .22)1(x m y +=D .22)1(x m y -=6.下列函数关系中,可以看作二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )模型的是 ( )A .在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B .我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系C .竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D .圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(1)[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象,概括出图象的特点及函数的性质. [MM 及创新思维]我们已经知道,一次函数12+=x y ,反比例函数xy 3=的图象分别是 、,那么二次函数2x y =的图象是什么呢 (1)描点法画函数2x y =的图象前,想一想,列表时如何合理选值以什么数为中心当x 取互为相反数的值时,y 的值如何(2)观察函数2x y =的图象,你能得出什么结论 [实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点有何不同点(1)22x y =(2)22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18822818…22x y -= …-18 -8 -2 0 -2 -8 -18… 图26.2.1.共同点:都以y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点.不同点:22x y =的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.22x y -=的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.例2.已知42)2(-++=k k xk y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求顶点坐标和对称轴.解 (1)由题意,得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k , 解得k=2.(2)二次函数为24x y =,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴. 例3.已知正方形周长为Ccm ,面积为S cm 2. (1)求S 和C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出S=1 cm 2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C 取何值时,S ≥4 cm 2.分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C 的取值应在取值范围内.解 (1)由题意,得)0(1612>=C C S .C 2 4 6 8 … 2161C S = 41 1 494 …(2)根据图象得S=1 cm 2时,正方形的周长是4cm .(3)根据图象得,当C ≥8cm 时,S ≥4 cm 2.回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ,不要习惯地写成x 、y . (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. [当堂课内练习]1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)23x y = (2)23x y -= (3)231x y =2.(1)函数232x y =的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;(2)函数241x y -=的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .3.已知等边三角形的边长为2x ,请将此三角形的面积S 表示成x 的函数,并画出图象的草图. [本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.(1)24x y -= (2)241x y =2.填空:(1)抛物线25x y -=,当x= 时,y 有最 值,是 . (2)当m= 时,抛物线mm x m y --=2)1(开口向下.(3)已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数,它的图象开口 ,当x时,y 随x 的增大而增大. 3.已知抛物线102-+=k kkx y 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值; (2)作出函数的图象(草图).4.已知抛物线2ax y =经过点(1,3),求当y=9时,x 的值.B 组5.底面是边长为x 的正方形,高为0.5cm 的长方体的体积为ycm 3.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm 3时底面边长x 的值;(4)根据图象,求出x 取何值时,y ≥4.5 cm 3. 6.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P (1,b ).(1)求a 、b 的值;(2)写出二次函数的关系式,并指出x 取何值时,该函数的y 随x 的增大而减小.7.一个函数的图象是以原点为顶点,y 轴为对称轴的抛物线,且过M (-2,2).(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;(2)写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标,并求出⊿MON 的面积. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(2)[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗 ,你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗 ,那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系. [实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出函数22x y =与222+=x y 的图象.描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.回顾与反思 当自变量x 取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y…20104241020…探索 观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的又有哪些不同你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗 例2.在同一直角坐标系中,画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y .描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.可以看出,抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的.回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线42+-=x y ,应将抛物线12--=x y 作怎样的平移例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y 轴,顶点坐标为(0,-2),因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y , 又抛物线经过点(1,1), 所以,2112-⋅=a , 解得3=a . 故所求函数关系式为232-=x y .x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y…-10-5-2-1-2-5-10…回顾与反思 k ax y +=2(a 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、1.在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:221x y =, 2212+=x y , 2212-=x y .观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗2.抛物线9412-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的.3.函数332+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= . [本课课外作业]A 组1.已知函数231x y =, 3312+=x y , 2312-=x y .(1)分别画出它们的图象;(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;(3)试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.2.不画图象,说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的.3.若二次函数22+=ax y 的图象经过点(-2,10),求a 的值.这个函数有最大还是最小值是多少B 组4.在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5.已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ,当k 为何值时,此二次函数以y 轴为对称轴写出其函数关系式. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(3)[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]我们已经了解到,函数k ax y +=2的图象,可以由函数2ax y =的图象上下平移所得,那么函数2)2(21-=x y 的图象,是否也可以由函数221x y =平移而得呢画图试一试,你能从中发现什么规律吗 [实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)2(21+=x y ,2)2(21-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.5所示.x … -3 -2 -10 1 2 3 …221x y = (29)2 21 0 21 2 29 …2)2(21+=x y …21 0 21 2 225 8 225… 2)2(21-=x y … 225 8 29221 0 21 …它们的开口方向都向上;对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2;顶点坐标分别是(0,0),(-2,0),(2,0).回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小;当x 时,函数值y 随x 的增大而增大;当x 时,函数取得最 值,最 值y= .探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线2)4(21-=x y ,应将抛物线221x y =作怎样的平移例2.不画出图象,你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗 解 抛物线23x y -=的顶点坐标为(0,0);抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为(-2,0).因此,抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y 轴和直线2-=x .抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的.回顾与反思 2)(h x a y -=(a 、h 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称[当堂课内练习]1.画图填空:抛物线2)1(-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的. 2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.22x y -=,2)3(2--=x y ,2)3(2+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.[本课课外作业]A 组1.已知函数221x y -=,2)1(21+-=x y , 2)1(21--=x y .(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)分别讨论各个函数的性质.2.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y3.函数2)1(3+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= .4.不画出图象,请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系.B 组5.将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2,且新抛物线经过点(1,3),求a 的值. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(4)[本课知识要点]1.掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律;2.会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.[MM 及创新思维]由前面的知识,我们知道,函数22x y =的图象,向上平移2个单位,可以得到函数222+=x y 的图象;函数22x y =的图象,向右平移3个单位,可以得到函数2)3(2-=x y 的图象,那么函数22x y =的图象,如何平移,才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)1(21-=x y ,2)1(212--=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方2)(h x a y -=+k 开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a例2.把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,求b 、c 的值.分析 抛物线2x y =的顶点为(0,0),只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b 、c 的值.解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=. 221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…向上平移2个单位,得到24)2(22+-++=b c b x y , 再向左平移4个单位,得到24)42(22+-+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ,而抛物线2x y =的顶点为(0,0),则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线c bx x y ++=2.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试. [当堂课内练习]1.将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = ( )A .向左平移4个单位,再向上平移1个单位B .向左平移4个单位,再向下平移1个单位C .向右平移4个单位,再向上平移1个单位D .向右平移4个单位,再向下平移1个单位2.把抛物线223x y -=向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 .3.抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到. [本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.23x y -=,2)2(3+-=x y ,1)2(32-+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式.3.将抛物线23212++-=x x y 如何平移,可得到抛物线32212++-=x x yB 组 4.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线532+-=x x y ,则有 ( )A .b =3,c=7B .b= -9,c= -15C .b=3,c=3D .b= -9,c=21 5.抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,求b 、c 的值.6.将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位,再向上平移k 个单位,其中h >0,k <0,求所得的抛物线的函数关系式. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(5)[本课知识要点]1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;2.会利用对称性画出二次函数的图象. [MM 及创新思维]我们已经发现,二次函数1)3(22+-=x y 的图象,可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数1)3(22+-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .那么,对于任意一个二次函数,如232-+-=x x y ,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗 [实践与探索]例1.通过配方,确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图. 解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8). x … -2 -1 0 1 2 3 4 …6422++-=x x y … -10 0 6 8 6 0 -10…回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,.(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.探索 对于二次函数c bx ax y ++=2,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗请你完成填空:对称轴 ,顶点坐标 . 例2.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,求a 的值.分析 顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0.解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x , 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a . 当顶点在x 轴上时,有 022=+-a , 解得 2-=a .当顶点在y 轴上时,有 04)2(92=+-a , 解得 4=a 或8-=a .所以,当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是 –2,4,8. [当堂课内练习]1.(1)二次函数x x y 22--=的对称轴是 .(2)二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小.(3)抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2,则a = .2.抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-,则a 、c 的值是多少[本课课外作业]A 组1.已知抛物线253212+-=x x y ,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象.2.利用配方法,把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)162++-=x x y(2)4322+-=x x y(3)nx x y +-=2 (4)q px x y ++=2 3.已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.B 组 4.当0<a 时,求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限.5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上,求抛物线的顶点坐标.[本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(6)[本课知识要点]1.会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值;2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值. [MM 及创新思维]在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如问题:某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大在这个问题中,设每件商品降价x 元,该商品每天的利润为y 元,则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y .那么,此问题可归结为:自变量x 为何值时函数y 取得最大值你能解决吗 [实践与探索]例1.求下列函数的最大值或最小值.(1)5322--=x x y ; (2)432+--=x x y .分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值.解 (1)二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2>0, 因此抛物线5322--=x x y 有最低点,即函数有最小值.因为5322--=x x y =849)43(22--x ,所以当43=x 时,函数5322--=x x y 有最小值是849-.(2)二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1<0, 因此抛物线432+--=x x y 有最高点,即函数有最大值.因为432+--=x x y =425)23(2++-x ,所以当23-=x 时,函数432+--=x x y 有最大值是425.回顾与反思 最大值或最小值的求法,第一步确定a 的符号,a >0有最小值,a <0有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试,当2.5≤x ≤3.5时,求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值.例2.某产品每件成本是120元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的价定为多少元此时每日销售利润是多少分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量.解 由表可知x+y=200,因此,所求的一次函数的关系式为200+-=x y .设每日销售利润为s 元,则有1600)160()120(2+--=-=x x y s .因为0120,0200≥-≥+-x x ,所以200120≤≤x .所以,当每件产品的销售价定为160元时,销售利润最大,最大销售利润为1600元.回顾与反思 解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,得出结果.例3.如图26.2.8,在Rt ⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D 在斜边AB 上,分别作DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,得四边形DECF ,设DE=x ,DF=y .(1)用含y 的代数式表示AE ;(2)求y 与x 之间的函数关系式,并求出x 的取值范围; (3)设四边形DECF 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系,并求出S 的最大值.解 (1)由题意可知,四边形DECF 为矩形,因此y DF AC AE -=-=8.(2)由DE ∥BC ,得AC AE BC DE =,即884yx -=, 所以,x y 28-=,x 的取值范围是40<<x . (3)8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S , 所以,当x=2时,S 有最大值8.[当堂课内练习]1.对于二次函数m x x y +-=22,当x= 时,y 有最小值.2.已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关系是 ( )A .a <bB .a=bC .a >bD .不能确定3.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元 (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多 [本课课外作业]A 组1.求下列函数的最大值或最小值.(1)x x y 22--=; (2)1222+-=x x y . 2.已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1,求m 的值.,3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系:)300(436.21.02≤≤++-=x x x y .y 值越大,表示接受能力越强.(1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低(2)第10分时,学生的接受能力是多少 (3)第几分时,学生的接受能力最强B 组 4.不论自变量x 取什么数,二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值,求m 的取值范围.5.如图,有长为24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m ),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2. (1)求S 与x 的函数关系式;(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃,AB 的长是多少米(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.6.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,线段EF 在对角线AC 上,EG ⊥AD ,FH ⊥BC ,垂足分别是G 、H ,且EG+FH=EF .(1)求线段EF 的长;(2)设EG=x ,⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ,写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围, 并求出S 的最小值. [本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质(7)[本课知识要点]会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式. [MM 及创新思维]一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时,通常需要两个独立的条件:确定反比例函数)0(≠=k xky 的关系式时,通常只需要一个条件:如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式,又需要几个条件呢[实践与探索]例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图26.2.9所示,现测得水面宽1.6m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么分析 如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴是y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y .此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意,得点B 的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B 在抛物线上,将它的坐标代入)0(2<=a ax y ,得28.04.2⨯=-a所以 415-=a . 因此,函数关系式是2415x y -=. 例2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A (0,-1)、B (1,0)、C (-1,2);(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y 轴交于点(0,1);(3)已知抛物线与x 轴交于点M (-3,0)、(5,0),且与y 轴交于点(0,-3);(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x 轴两交点间的距离为4.分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式;(2)根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为3)1(2--=x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(3)根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为2)3(2--=x a y ,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x 轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入2)3(2--=x a y ,即可求出a 的值.解 (1)设二次函数关系式为c bx ax y ++=2,由已知,这个函数的图象过(0,-1),可以得到c= -1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组,得。