第四章动能和势能思考题4.1起重机起升重物。

问在加速上升，匀速上升，减速上升，以及加速下降，匀速下降，减速下降六种情况下合力之功的正负。

又：在加速上升和匀速上升了距离h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所作的功是否一样多？答：1）加速上升：合力做正功，合力与速度方向相同；2）匀速上升：合力为零，做功也为零；3）减速上升：合力做负功，合力与速度方向相反； 4）加速下降：合力做正功，合力与速度方向相同； 5）匀速下降：合力为零，做功也为零；6）减速下降：合力做负功，合力与速度方向相反； 又：不一样多，因为两种情况的拉力不一样。

4.2弹簧A 和B ，劲度系数B A k k > ，（1）将弹簧拉长同样的距离;(2)拉长两个弹簧到某个长度时，所用的力相同。

在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧作的功更多？ 答：1）对弹簧A 做功更多。

由于位移相同, A k 大,则用力大;2）力相同，劲度系数越大，位移越小，对弹簧B 做功更多。

4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹性势能总是正的。

”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹性势能会是负的。

答：不正确。

如果选弹簧伸长量或压缩量最大时弹性势能为0，则会使弹性势能为负。

4.4一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。

想不通”。

你能否给他解决这个疑难？答：两质点由相距很远到相距很近,引力作正功,引力势能减少。

4.5人从静止开始步行，如鞋底不再地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否作了功？人体的动能是从哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？答：做功。

摩擦力做功等于动能的增量。

能量守恒定律。

4.6一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？ 答：不是。

4.7力的功是否与参考系有关？一对作用力和反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？答：力的功与参考系有关，一对作用力和反作用力所做功的代数和参考系无关。

4.8取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。

再以弹簧拉伸（或压缩）到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。

根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。

对重力势能和万有引力势能也可如此作。

研究一下.习题4.2.2本题图表示测定运动体能的装置,绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮,下悬重物50kg,人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动,设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动,问运动员对传送带做功否?功率如何? 解：运动员对传送带做功：P = FV=50×10×2 W=1000W4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹力的大小为321l k l k f +=.l 表示弹簧的伸长量,1k 为正.(1)研究当2k ＞0, 2k ＜0和2k =0时弹簧的劲度有何不同;(2)求出弹簧由1l 拉长至2l 时弹簧对外界所作的功. 解：321l k l k f += 2213l k k dldf+=， k 1>0的增大而增大随的增大而增大随l k l k dl dfk l k l k dl dfk l k k f ,06,,0,,06,0,32222221<=<>=>+= 12,0k dl df k == k 与l 无关)(41)(21)(414222122132121l l k l l k dl l k l k A l l -+-=+=⎰4.2.4一轻细线系一小球,小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动,绳穿过桌中心光滑圆孔,用力向下拉绳.证明力对线做的功等线作用于小球的拉所做的功.线不可伸长.证明：设绳作用于小球的拉力为T ，用dr 表示小球的元位移，则线绳作用于小球的拉力对小球作的元功为：r d T dA ⋅=r dr d r d rd 21+= T r d 1 rr d T r d T r d T dA 121⋅=⋅+⋅=⎰⎰⎰=⋅=⋅=sssTdr r d T r d T A1F = Tr d T Fdl l d F dA ⋅==⋅=4.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15kg/h 的速率向上行驶,斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02,所受阻力等于卡车重量的0.04,如果卡车以同样的功率匀速下坡,卡车的速率是多少?解：以卡车为研究对象。

建立OX 坐标轴，平行于斜面，方向沿斜面向上。

上坡时 0sin =--αmg f F ααs i n 04.0sin mg mg f F +=+= 02.0sin ==ααtg上坡的功率：mgv v mg mg v F p 06.0)sin 04.0(=⋅+=⋅=α下坡时，0sin '=-+-αmg f F，mg mg mg mg f F 02.002.004.0sin '=-=-=αv F p '='， s m mgmg v /5.1202.01506.0=⨯='4.3.1 质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动。

木块与以不可伸长的轻绳相连．绳跨过一固定的光滑小环．绳端作用着大小不边的力T=50N.木块在点A 时具有向右的速率0v =6m/s.求力T 将木块自A 点拉至B 时的速度． 解：研究对象《木块》受力分析：T N W ' ,,, 只有T '做功r d T dA⋅'=（可将力向位移上投影，也可将位移向力上投影）⎰⎰'=⋅'=40cos dx T r d T A B AαJdxx x 1003)4(450422=+--⨯=⎰由动能定理：A mv mvB =-2022121 s m A m v v B /9.205.0100*26222=+=+= 4.3.2质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上．不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离．绳端作用于恒力F ，F=60N.木块在A 处有向上的速度0v =2m/s ，求木块被拉至B 时的速度．解：以A 为原点建O-y 坐标系y⎰⎰-=⋅+=BAdy mg T r d W T A 5.00)cos ()(θkg m N T y y2.1,60,5.0)5.0(5.0cos 22==+--=θs m v A /2= O s m v A mv mv B A B /86.3212122=⇒=- 4.3.3质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初，m 处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度0v 向右运动．弹簧的劲度系数为k ，物体与支承面之间的滑动摩擦系数为μ．求证物体能达到的最远距离l 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=112220mg kv k mg l μμc证明：由动能定理2021210mv E A A k -=∆=+弹性力做功：2121)(kl dx kx A l-=-=⎰ 阻力做功：mgl dx mg A l μμ-=-=⎰02)(2022121mv mgl kl -=--μ )11(2220-+=mgkvk mgl μμ 4.3.4圆柱形容器内装有气体容器内壁光滑。

质量为m 的活塞将气体密封。

气体膨胀前后的体积各为1v 和2v ,膨胀前的压强为1p .活塞初速度为0v .(1)求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀是气体的体积和压强满足pv=恒量。

（2)若气体的体积和压强满足γPV =恒量.，活塞的末速率又如何？（本题用积分）解：1)气体膨胀后对外做功：202212121mv mv E pdv A k v v -=∆==⎰ 代入上式，则常数VVp p c pv 11),(==即 20212112121ln mv mv V V V p -=则，20121121ln 2v V V m V p v +=2）若气体的体积和压强满足γPV =恒量即 20212112121ln21mv mv V V V p pdv A v v -===⎰γγ20121121ln 2v V V m V p v +=γγ4.3.5 O’坐标系与O 坐标系各对应轴平行，O’相对于O 沿x 轴以0v 作匀速直线运动，对于O 系,质点动能定理为21222121mv mv x F -=∆. 1v 和2v 沿x 轴,根据伽利略变换证明:相对于O’系动能定理也取这种形式.证明：两个惯性系：o-xyz, o ˊ-x ˊy ˊz ˊ伽利略变换：由o 系到o ˊ系的变换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='-='tt z z y y ut x x )()(12t x t x x -=∆[][][]tu x t t u t x t x ut t x ut t x ∆+'∆=-+'-'=+'-+'=)()()()()(12121122速度变换：u v v x x -='加速度变换：x x a a ='作用力不因参考系而改变：F F =')(t u x F x F ∆-∆='∆'t Fu x F ∆-∆= =t Fu mv mv ∆--21222121t Fu v v mu v m v m t Fu u v m u v m ∆-'-'+'-'=∆-+'-+'=)(2121)(21)(211221222122由 ta v v ma F x x∆'='-'=12则：21222121v m v m x F '-'='∆' 具有形式不变性。

4.3.6带电量为e 的粒子在均匀磁场中的偏转A 表示发射带电粒子的离子源,发射出的粒子在加速管道B 中加速,得到一定速率后于C 处在磁场洛伦兹力作用下偏转,然后进入漂移管道D,若离子质量不同或电量不同或速率不同,在一定磁场中偏转的程度也不同,在本题装置中,管道C 中心轴线偏转的半径只有一定质量的离子能自漂移管道D 中引出,这种装置能将特定的粒子引出,称为 “质量分析器”,各种正离子自离子源A 引出后,在加速管中受到电压为U的电场加速,设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R,求证在D 管中得到的离子的质量为U qR B m 222=解：由R mv Bqv mv qU 2221==则： UqR B m 222=4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g 的圆柱体,圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内,框架槽沿铅直方向,框架质量为200g,自悬线静止于铅直位置开始,框架在水平力F=20.0N 作用下移至图中位置,求圆柱体的速度,线长20cm ,不计摩擦. 解： 利用质点系动能定理研究对象《圆柱体和框架》受力分析：T F W,,坐标系：o-x设圆柱体速度为v 1,框架速度为v 2则：2121v v v +=在x 轴上投影：x x v v 210+= 即 2130cos v v =动能增量：0)2121(222211-+=∆v m v m E k合外力的功：A=)30cos 1(30sin--mgl Fl 则 k E A ∆= , v 1 = 2.4 m/s4.4.1二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组,弹簧1和2的劲度系数各为1k 和2k .它们自由伸展的长度相差l 坐标原点置于弹簧2自由伸展处,求弹簧组在0≤x ≤l 和x<0时弹性势能的表示式解：坐标原点置于弹簧2自由伸长处， 弹簧组的势能为两个弹簧的势能和1）l x ≤≤0时弹簧2不可伸长，故02=p E 只有弹簧1起作用：)(1l x k F x --=dx l x k E E xp p ⎰---==011)(lx k x k 12121-=2）0<x 时 x k l x k F F F x x x 2121)(---=+=dx x k dx l x k E xx p ⎰⎰-----=0201)(lx k x k k 1221)(21-+=4.5.1滑雪运动员自A 自由滑下，经B 越过宽为d 的横沟到达平台C 时,其速度c v 刚好在水平方向，已知A,B 两点的垂直高度为25m.坡道在点B 的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦.求(1)运动员离开B 处的速率B v ，(2)B,C 的垂直高度差h 及沟宽d,(3)运动员到达平台时的速率c v .解：仅内保守力做功，机械能守恒E A = E B = E C（1）s m gh v mv mgh AB B B AB /4.222212==⇒=（2）30sin ,30cos B B c v gt v v == s gv t B 12.130sin 0=m t v h B 28.630sin 21==m COS v d B 75.2112.1234.2212.1300=⨯⨯=⨯=（3）s m v v B c /2.1930cos 00==4.5.2装置如图所示.球的质量为5kg,杆AB 长1m,AC 长0.1m,A 点距O 点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆在水平位置时恰为弹簧自由状态,此时释放小球,小球由静止开始运动.求小球到铅直位置时的速度.不计弹簧质量及杆的质量,不计摩擦.解：把球、杆、弹簧、地球看成一个系统整个过程中系统只有内保守力做功，系统机械能守恒222121x k mv AB mg ∆+=Δx =0.1m,AB=1m,m=5kg,k=800N/m得 v =4.28m/s4.5.3物体Q 与一劲度系数为24N/m 的橡皮筋连结,并在一水平圆环轨道上运动,物体Q 在A 处的速度为1.0m/s 。