§10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值10.1 用Mathematica 作三维函数图在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。

这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”。

1 常用的三维绘图函数Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作)f的图形。

x(y,ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。

Show[f1,f2,f3,…]: 将多个图形组合重新显示。

2 常用的可选项Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。

可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。

表10-1 常用的可选项选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint 值：表10-2 典型的ViewPoint 值例10.1 画出函数22sin y x z +=图形，并使图形表面不上色。

解 In[1]:= Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}]Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,Shading->False]Out[2]= -SurfaceGraphics-例10.2 画出函数y图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。

sinxz cos解In[1]:= Plot3D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesLabel->{“x”, “y”, “z”}]Out[1]= -SurfaceGraphics-In[2]:= Show[%,ViewPoint->{－1,-1,2}]Out[2]= -SurfaceGraphics-例10.3 画一单位双曲面。

解 首先，写出单位双曲面的参数方程x=Cosh[u]*Cos[v] y=Cosh[u]*Sin[v] z=uIn[1]:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,0,Pi},{v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x ”, “y ”, “z ”}]Out[1]= -Graphics3D-例10.4 画出函数11634222=++z y x 图形。

解 In[1]:=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],3Sin[u]*Sin[v],4Cos[u]},{u,0,Pi},{v,-Pi,Pi},AxesLabel->{x, y, z}]Out[1]= -Graphics3D-In[2]=: Show[%,ViewVertical->{1,0,0}]Out[2]=-Graphics3D-例10.5 画出由02=+y x 与1)1(22=+-y x 所围的立体图形。

解 In[1]:= a1=Plot3D[x+2y,{x,0,2},{y,0,2},DisplayFunction->Identity]; a2=ParametricPlot3D[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,0,3.5},DisplayFunction->Identity];a3=Plot3D[0,{x,-1,2},{y,-1,2},DisplayFunction->Identity]; Show[a1,a2,a3,AxesLabel->{x, y},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,4},DisplayFunction->$DisplayFunction]Out[1]= -Graphics3D-9.2 用Mathematica 求偏导数与多元函数的极值函数[]x n x Dt ,^实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设n 个不是x 的函数，在Mathematica 中，它有一个函数Dt ，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变量都有联系。

在Mathematica 的说明中，[]x f D ,代表了x f ∂∂，而[]x f Dt ,则代表了dxdf 。

可以认为Dt 表示了“全微分”。

例如：1. 下面给出了一个全微分，其中n 是x 的函数，[]x f Dt ,则代表了dxdf。

])log[],[(]1[],^[:]1[x x n Dt xnx Out x n x Dt In n+== 2. 下面是一个全微分。

其中[]x f Dt ,代表了dx 。

])log[][][(]2[]^[:]2[x n Dt xx nDt x Out n x Dt In n +== 注：在Mathematica 中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示： 表10-3 部分的微分函数例10.6 求下列函数对x 的偏导数1. ()22ln y x x u ++=； 2. xyyx arctgu -+=1； 3. xyeu s i n = ； 4. u=zy x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

解In[1]:= D[Log[x+Sqrt[x^2+y^2] ],x];Simplify[%] (*通常Mathematica 不自动化简微分结果，要借助于Simplify 函数*)Out[1]=221yx +In[2]: = D[ArcTanh[(x+y)/(1-x*y)],x];Simplify[%]Out[2]= )22221(411y x y xy y +-+--+ In[3]: = D[E^Sin[y/x],x]; Simplify[%]Out[3]= 2x x y yCos ex y Sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡ In[4]: = D[(x/y)^z,x]; Simplify[%]Out[4]= xzy x z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例10.7 设x y y x z sin sin 33+=，求y z ∂∂，1,1==∂∂y x yz， 22x z ∂∂，336yx z∂∂。

解 In[1]:= Clear[z,x,y];z[x,y]:=x^3*Sin[y]+y^3Sin[x]; /*定义二元函数.*/ D[z[x,y],y]Out[1]= ][3][23x Sin y y Cos x +In[2]:= D[z[x,y],y]/.{x->1,y->1} /*给函数的变量赋值.*/ Out[2]= ]1[3]1[Sin Cos + In[3]:= D[z[x,y],{x,2}] Out[3]= ][6][3y xSin x Sin y +- In[4]:= D[z[x,y],{x,3},{y,3}] Out[4]= ][6][6y Cos x Cos +-例10.8 设v u y y u x y x z 23,,ln 2-===，求u z ∂∂，v z∂∂，22vz ∂∂。

解 In[1]:= x[u_,v_]:=u/v;y[u_,v_]:=3u-2v;z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Log[y[u,v]]; D[z[x,y],u]; Simplify[%]Out[1]=2])23[2233(v v u Log v u uu -+- In[2]:= D[z[x,y],v];Simplify[%]Out[2]=3])23[23(22v v u Log v u vu ---In[3]:= D[z[x,y],{v,2}];Simplify[%]Out[3]= 4222)23(])23[)23(3)56(2vv u v u Log v u v v u u ---+- 例10.9 设),()2(xy x g y x f z +-=，其中函数()f t 二阶可导，(,)g u v 具有二阶连续的偏导数，求x z∂∂，22x z ∂∂，yx z ∂∂∂2。

解 In[1]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x]Out[1]= ],[],[]2['2)1,0()1,0(xy x g xy x yg y x f ++- In[2]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],{x,2}] Out[2]=],[]),[],[(],[]2[''4)0,2()1,1()2,0()1,1(xy x g xy x g xy x yg y xy x yg y x f ++++-In[3]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x,y]Out[3]= ]),[],[],[]2[''2)1,1()2,0()1,0(xy x xg xy x xyg xy x g y x f +++--其中u g v u g ∂∂为],[)0,1(，v g v u g ∂∂为],[)1,0(，v u g v u g ∂∂∂为],[)1,1(，2)0,2(],[ug v u g ∂∂为，2)2,0(],[vg v u g ∂∂为。

例10.10 已知函数)(xyxF xy z +=，证明xy z y z yx z x +=∂∂+∂∂。

解 In[1]:= z=x*y+x*F[y/x];D[z,x]*x+y*D[z,y]-z-x*y; Simplify[%] Out[1]= 0例10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数： 1．xyarctgy x =+22ln ， 求dy dx 。

2．u v u y u v u x sin ,cos ==，求x u ∂∂，y u ∂∂，xv∂∂，y v ∂∂。

解 In[1]:= eq1=Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]= = ArcTanh[y[x]/x];D[eq1,x]; Solve[%,y′ [x]]; Simplify[%]Out[1]= ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-+-+→32233223][][][][][][]['x y x xy x y x x x y x xy x y x x x y In[2]:= D[{x==u[x]*Cos[v[x]/u[x]],y==u[x]*Sin[v[x]/u[x]]},x]; Simplify[Solve[%,{u′ [x],v ′[x]}]]Out[2]= ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-→→][][]][][[]][][[]['],][][[]['x u x v x u x v Cos x u x v Sin x v x u x v Cos x uIn[3]:= D[{x==u[y]*Cos[v[y]/u[y]],y==u[y]*Sin[v[y]/u[y]]},y]; Simplify[Solve[%,{u′ [y],v ′[y]}]]Out[3]= ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+→→][][]][][[]][][[]['],][][[]['y u y v y u y v Sin y u y v Cos y v x u x v Sin y u例10.12 求下列极值问题：1．函数y x xy x y x f 12153),(3--+=.2．求函数y y x y x f 1612),(22+-+=，在2522≤+y x 上的最大最小值. 解 1． In[1]:= Clear[x,y,z,a,b,c,d,t];f[x_,y_]:=x^3+3*x*y^2-15x-12y;a=D[f[x,y],{x,2}];b=D[f[x,y],x,y];c=D[f[x,y],{y,2}];d=a*c-b^2;t=Slove[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}];l=Length[t]lFor[i=1,i<=1,i++,Print[t[[i]];d1=d/.t[[i]];a1=a/.t[[i]];z=f[x,y]/.t[[i]];Which[d1>0&&a1<0,Print[“fmax=”,z],d1>0&&a1>0,Print[“fmin=”,z],d1= =0,Print[“No Sure”,z],d1= =0,Print[No]]]Out[1]= {x->-2,y->-1}fmax=28{x->-1,y->-2}No{x->1,y->2}No{x->-2,y->-1}fmin=-282． 先求(,)f x y 在圆域内2522<+y x 的最大最小值:In[2]:= f[x_,y_]:=x^2+y^2-12x+16y;t=Solve[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}]Out[2]={{x->6,y->-8}} (*驻点*) In[3]:= x^2+y^2-25/.t[[1]]Out[3]=75该驻点在圆外，圆内无驻点，故不取极值。