第一章 数与代数 第一节 数的认识一、整 数 1、整数的意义1、像-2、-1、0、1……这样的数称为整数。

2、整数分为正整数，0，负整数。

3、正整数，0又称为自然数,而且是最小的自然数。

4、整数的个数是无限的，既没有最大的整数，也没有最小的整数。

2、自然数1、我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3……叫做自然数。

2、一个物体也没有，用0表示。

3、0也是自然数，而且是最小的自然数，没有最大的自然数。

4、自然数既可以表示事物的多少（即基数），也可以表示事物的次序（即序数）。

3、正数与负数：表示两种相反意义的量。

1、0既不是正数，也不是负数。

2、不管是什么数（整数，分数，小数，百分数）都有正数与负数之分。

3、正数>0>负数4、计数单位1、一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

这样的计数法叫做十进制计数法。

5、数位1、计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

2、数位是指各个计数单位所占的位置；每个数位上的数都有相应的计数单位；位数是指一个自然数中含有数位的个数。

6、读法和写法：1、读法：从高位到低位，一级一级地读。

读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。

每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。

2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

7、大于0的整数的大小比较1、比较两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大；左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数，左起第二位上的数大的那个数就大，以此类推。

2、负数：负号前面的数越大就越小。

8、改写和省略尾数1、根据需要，有时需将一个较大的数改成用万或亿做单位的数，改写时只要在万位或者亿位右下方点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再写上“万”或者“亿”字，改写的数是原数的准确的数，用“=”连接。

2、有时根据实际需要把一个数某一位后面的尾数省略，求他的近似数。

3、用“四舍五入”法求一个数的近似数，要看所省略的尾数的最高位，如果尾数最高位上的数不满5时，就直接把尾数都舍去；如果尾数最高位上的数大于或等于5时，把尾数舍去后，向他的前一位进一（注：在用“四舍五入”法求一个数的近似数时，也会用到“进一法”和“去尾法”，主要用于解决实际问题）。

近似数与原数用“. ”连接。

9、0的作用。

1、表示占位；表示起点；表示界限。

2、根据读法规则，每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0，都只读一个零；在写数上，要符合“一个零都不读出来”的条件，就要把0放在级尾，六位数中包含万级和个级两个级尾，即要把0放在万级或个级的级尾；要符合“只读一个零”的条件，那么在个级首或个级中间有一个0或连续几个0；要符合“只读两个零”，那么在个级首或个级中间同时出现0。

10、数的整除 1、因数与倍数1、整数a 除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

如果数a 能被数b （b ≠ 0）整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数（或a 的因数）。

2、倍数和约数是相互依存的。

3、一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

没有最大的倍数。

5、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

6、个位上是0或5的数，都能被5整除。

7、一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

8、一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

9、能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

10、一个数的末两位数能被4（25）整除，这个数就能被4（25）整除。

11、一个数的末三位数能被8（125）整除，这个数就能被8（125）整除。

2、奇数与偶数。

1、能被2整除的数叫做偶数。

2、不能被2整除的数叫做奇数。

3、自然数中只有奇数与偶数。

4、关系式： 1.偶数±偶数=偶数。

2.奇数±奇数=偶数。

3.奇数±偶数=奇数。

4.偶数用代数式2n,2n±2表示。

5.偶数×偶数=偶数。

6.偶数×奇数=偶数。

7.奇数×奇数=奇数。

8.奇数用代数2n-1,2n+1表示。

3、质数（素数）与合数 1、按一个数约数的个数，非0自然数可分为1、质数、合数三类。

2、一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。

3、100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

4、一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

5、1不是质数也不是合数。

6、自然数除了0和1外，不是质数就是合数。

7、如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

8、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

4、公因数（或叫公约数）和最大公因数（或叫最大公约数）（公因数有最大，公倍数只有最小）1、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2、公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1、1和任何自然数互质。

2、相邻的两个自然数互质。

3、两个不同的质数互质。

4、当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

5、两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。

6、如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

7、如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1。

5、公倍数和最小公倍数。

1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

2、求最大公约数与最小公倍数一般采用短除法。

注：1、如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

2、如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数，而1就是这两个数的最大公因数。

3、几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

6、分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数；把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

二、小数1、小数的意义。

1、把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。

2、计数单位：一位小数表示十分之几，计数单位就是十分之一；两位小数表示百分之几，计数单位就是百分之一；三位小数表示千分之几，计数单位就是千分之一……3、构成：一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。

数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

4、读法：读小数时，整数部分仍然按整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分的数按数位顺序依次读出每个数位上的数字，小数点后面的“0”有几个读几个。

5、写法：在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

写小数时，仍然按整数的写法写，整数部分是零的要写“0”，小数点要写在个位右下角，然后依次写出小数部分每一个数位上的数字。

6、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。

2、小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变3、小数的分类1、纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。

2、带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。

3、有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。

4、无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。

5、无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。

6、循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。

7、一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

8、纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

9、混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

10、写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。

如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。

4、小数点位置移动引起的小数变化：1、小数点向右移动一位、二位、三位……，原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……。

2、反之小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……。

即原来的数就缩小到它的十分之一，百分之一，千分之一……3、位数不够时，必须添加“0”补足位数5、互化。

1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

2、分数化成小数：用分母去除分子。

能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

3、纯循环小数化为分数：把第一个循环节的数字组成的数作为分子，分母由数字9组成，9的个数等于循环节的个数。

4、混循环小数化为分数：其分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位的数字所组成的数减去不循环数字所组成的差，分母由数字9和0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。

6、比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……三、分数1、分数的意义。

1、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

ab=a÷b=a:b。

2、在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

2、分数的分类1、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

真分数小于1。

2、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。

假分数大于或等于1。

3、带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

4、假分数与带分数互化：，假分数化带分数，分母不变，用分子除以分母所得的商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分子；带分数化假分数是分母不变，用带分数的整数部分乘以分母所得的积加上分子所得的和作分子。